ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ

Предельные теоремы теории вероятностей

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе дисциплины изучают массовые случайные явления. Связующим звеном между ними являются предельные теоремы, устанавливающие взаимосвязь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний.

Теоремы условно делятся на две группы (табл. 2):

–закон больших чисел (ЗБЧ) (устанавливает устойчивость

средних значений при неограниченном числе испытаний, когда средний результат может быть предсказанИс большой степенью определенности);

–центральная предельная теоремаД(ЦПТ) (устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа

случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону). А DXб

DXi

i1

Тцентрированная сумма независимых одинаково распределенных случайных величин Хi, то Zn N(0,1)

7

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Для построения теоретико-вероятностных моделей различных задач математической статистики приходится сталкиваться с распределениями случайных величин. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания может принимать то или иное значение из некоторого множества своих значений, заранее неизвестное. Исчерпывающей характеристикой случайной величины служит её закон распределения.

Равномерный закон распределения (табл. 3) используется при анализе ошибок округления в числовых расчетах, в задачах массового обслуживания. Равномерное распределение часто используют тогда, когда известно, что величина принимает значения на некотором

8

Показательный закон (табл. 4) распределения используется в теории массового обслуживания и теории надежности. С помощью показательного закона распределения описывают величину срока службы и время безотказной работы отдельных элементов различных устройств.

Таблица 4

Показательный закон распределения

Нормальный закон распределения (табл. 5) является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях. Нормальный закон наиболее часто встречается на практике. Ему подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей машин и механизмов, отклонение изготовляемой детали от стандарта, колебания напряжения в электросети, рост человека и т.д.

9

Таблица 5

Нормальный закон распределения

2

x ;

10