Нелинейная парная регрессия

Вид зависимости

Корреляционное поле

Система нормальных

уравнений

1

2

И

3

Квадратичная

a x4

b x3

c x2

x2y ;

зависимость

Д

i

i

i

i i

y

y

x ax2 bx c

a 0

a 0

a xi3 b xi2 c xi

xi yi;

А

a x2 b x cn y

i

i

i

x

Гиперболическая

и

Приводят

уравнение

к

зависимость

y

a 0

линейной

зависимости

с

a

С

б

помощью подстановки u

1

:

yx x b

x

2

b ui

uiyi;

a ui

a 0

a u nb y

x

i

i

Логарифмическая

Приводят

уравнение

к

зависимость

y

линейной зависимости с помо-

y

x alnx b

a 0

щью подстановки u ln x

1

2

3

Показательная

Для

линеаризации

показа-

зависимость

y

a 1

тельной зависимости приме-

y

b ax

0 a 1

няют процесс логарифмиро-

x

x

b 0

вания:

lg

y

x

lgb ax ,

откуда

lg

y

x

xlga lgb.

Пусть

x

A lga; B lgb;

Y lg

y

x ,

тогда

получим

линейную

зависимость Y Ax B

Коэффициент корреляции и его свойства

Коэффициент корреляции r – показатель тесноты линейной связи

между

величинами

X

и

Y ,

который

оценивается

по

величине

рассеяния

значений

одной

переменной

вокруг

среднего

арифметического другой (табл. 4.6).

И

Таблица 4.6

Нахождение и свойства коэффициента корреляции

Нахождение

Код

Задание

1

2

3

Д

1)

– средняя

Выборочное

уравнение

r

yx xy

геометрическая

4.3

коэффициентов регрессии.

Вы ирается

знак

парной регрессии имеет

вид y 3,4 0,7x ,

«+», если

yx

0;

xy

0,

А

знак

«–»,

если

X 2;

Y 2,4.

Найти

yx

0;

xy

0.

Наход тся

з

уравнений

б

коэффициент

регрессии.

и

корреляции.

___

Решение. Из уравнения

2)

r

xy

x

y

или r

yx

SX

находится по

регрессии

yx

0,7,

S

X

S

S

Y

Y

выборке,

где

SС, S – выборочные средние

откуда

X

Y

r 0,7

2

0,58

квадратические отклонения

2,4

Свойства коэффициента корреляции:

4.3

По результатам наб-

1)

r

1.

людений

получены

уравнения

регрессии

2) r 0

линейной

корреляционной

yx

0,7x 5

и

зависимости нет.

x

0,8y 18.

Оцените

3)

r 0

связь между величинами прямая,

y

т.е. с ростом X увеличивается Y .

тесноту

связи

между

переменными X и Y .

1

2

3

4)

r 0 связь между величинами обратная,

Решение.

yx 0,7

и

т.е. с ростом X убывает Y .

xy 0,8.

Тогда

5)

r

1 X и Y связаны функционально

r

0,7 0,8

0,75 1

Шкала Чеддока для оценки силы связи

связь

между

коэффициента корреляции

величинами

прямая

и

Значение r

Интерпретация

высокая

0 – 0,3

Очень слабая

0,3 – 0,5

Слабая

0,5 – 0,7

Средняя

0,7 – 0,9

Высокая

При

0,9 – 1

Очень высокая

силы

отрицательной

корреляции значения

И

связи меняют на противоположные

H

Д

Проверка значимости коэффициента корреляции

Так как коэффициент корреляции r

вычисляется по значениям

А

выборку

из

генеральной

переменных, случайно попавших в

и

т.е.

H0 :r 0,

где

переменными в генеральной совокупности,

альтернативная гипотеза H1: r 0 (табл. 4.7).

С

б

Таблица 4.7

хема проверки значимости коэффициента корреляции

Этапы

Код

Задание

1

2

3

1. Выбрать гипотезу H0

об

4.3

Для проверки гипотезы на уровне

отсутствии

линейной

корреля-

значимости

0,05

о наличии

ционной связи между переме-

линейной

корреляционной

связи

нными в генеральной совокуп-

между

количеством

выпускаемой

ности, т.е. H0 :r 0

продукции и полными затратами на их

производство

было

обследовано 40

2. Выбрать статистику

однотипных предприятий.

t

r

n 2

,

которая

имеет

Наблюдаемое

значение

статистики

1 r2

с

tнаб 7,54.

Найти

критическое

t-распределение Стьюдента

значение статистики и сделать вывод

k n 2 степенями свободы

относительно существенности связи.

1

2

3

3.

Вычислить

наблюдаемое

Решение.

Для

уровня

значение статистики критерия

значимости 0,05 и числа степеней

r

свободы

k 40 2 38

находим

tнаб

n 2

критическое

значение

статистики

1 r2

tкр t1 0,05;38 t0,95;38 2,02.

4.

На

выбранном

уровне

Так

как

tнаб 7,54 2,02,

то

значимости

и

по

числу

степеней свободы k

определить

следует

признать значимую

связь

критическое значение

между

количеством

выпускаемой

tкр t1 ,k (см. прил. 3)

продукции и полными затратами на их

производство

5. Если

tнаб

tкр ,

то гипотеза

H0

будет отвергаться

Корреляционная таблица

Данные о

статистической

зависимости величин

X

и

Y

для

сгруппированной выборки удобно задавать в виде корреляционной

таблицы. Пусть

И

случайная величина X

в

выборке принимает

значения x1,x2, ,xk , а величина Y

– значения

y1,y2, ,ym , где k и

m – количество

различающихся

Д

между

собой значений данных

случайных величин. Полученные данные заносят в корреляционную

А

б

и

Y / X

x1

С

x2

…

xk

nY

y1

n11

n21

…

nk1

ny

1

…

…

…

…

…

…

ym

n1m

n2m

…

nkm

ny

m

nX

nx1

nx2

…

nxk

n

В таблице nxi , nyj

– частоты вариант xi

и yj

соответственно, nij

Этапы исследования

Код

Задание

1

2

3

1. Построение

корреляцион-

4.1

По

данным

корреляционной

таблицы

ного поля.

исследовать

корреляционную

и

2. Нахождение уравнений ре-

регрессионную зависимости между Х и Y.

грессии.

коэффициен-

Y

X

1

3

5

n

3. Нахождение

Y

та корреляции.

1

4

2

6

4. Проверка

значимости

ко-

5

5

1

6

9

3

5

8

nX

4

10

6

20

Нахождение

генеральных

Д

x

(1 4 3 10 5 6) 3,2

;

20

И

1 k

; y

1 m

1

x

x n

y

n

ni 1

i

Xi

n j 1

j

Yj

20

Нахождение

групповых

б

средних

А

X

1

3

5

m

k

и

yi

1

5,4

8,3