4.1. Справочный материал

Таблица 4.1

Д

Зависимости между случайными величинами

Вид зависимости

Код

Определение

Функциональная

4.1

Изменение

величины Х влечет за собой

А

определенное изменениеИвеличины Y

Статистическая

Изменение величины X влечет за собой изменение

б

распределения величины Y

Корреляционная

Изменение величины X влечет за собой изменение

и

среднего значения величины Y

Таким образом, корреляц онная зависимость – частный случай

С

имеет место функциональная

статистической

зав с мости, когда

f (x) M(Y / X x)

– уравнение регрессии Y на X ;

g(y) M(X /Y y)

– уравнение регрессии X на Y .

Оценками данных функций служат выборочные уравнения

регрессии (условные средние):

x f (x,b0 ,b1,...,bp ), где

y

x

– условная средняя переменной Y

y

при фиксированном значении

переменной X x; b0 ,b1,...,bp –

параметры кривой регрессии.

точек на корреляционном поле можно судить о направлении и силе

y

И

связи (табл. 4.2).

Д

Таблица 4.2

Анализ зависимости между признаками по виду корреляционного поля

Корреляционное поле

Анализ данных

Вывод

А

Зависимость

между

Точки

беспорядочно

разбросаны по полю

X и Y отсутствует

б

x

и

С

Точки

образуют

эллипс,

Имеется

прямая

y

концентрируются

вокруг

зависимость

между

оси, идущей из нижнего

X и Y

левого

угла

в

верхний

правый

x

Точки

образуют

эллипс,

Имеется обратная

y

концентрируются

вокруг

зависимость

между

оси, идущей из нижнего

X и Y

левого

угла

в

верхний

правый

Выборочные данные

Таблица 4.3

xi

x1

x2

…

xn

yi

y1

y2

…

yn

Построим корреляционное поле

Y

по выборочным данным (рис. 4.1).

x

аx b

Линейная

парная

регрессия

y

yi

i

сводится

к

нахождению

регрес-

сионного уравнения вида yx

ax b.

yx (xi )

Уравнение

позволяет

по

X

заданным

значениям хi

вычислить

теоретические

значения

результа-

x1 x2 xi

xn

тивного признака Y. На графике

Рис. 4.1. Корреляционное поле

И

предста-

теоретические

значения

вляют прямую регрессии

y

x

ax b.

Д

А

б

С

параметров, при которых сумма квадратов отклонений эмпирических

значений yi от значен й

y

x

(x ), найденных по уравнению регрессии,

i

была минимальной, ти.е.

k

k

S i2 (yi

x )2 min.

y

i 1

i 1

n

Для линейной зависимости имеем S axi b yi 2 .

Функция S

i 1

имеет минимум в тех точках, в которых частные

производные от

S по параметрам a

и b обращаются в нуль, т.е.

n

n

n

a x2

b x x y ;

i

i

i i

i 1

i 1

i 1

n

n

a x b n y .

i 1

i

i

i 1

подставим

в

уравнение регрессии

y

x ax b ax

y

ax

или

y

x

y

a(x

x

).

Коэффициент

a

называют

коэффициентом

регрессии Y по Х и обозначают символом

И

yx (табл. 4.4).

Коэффициент линейной регрессии

Таблица 4.4

Понятия

А

Задание

Код

В уравнении

регрессии

Y по Х

4.2

Получены

результаты

измерений

y

x

y

yx(x

x

),

значений величин Х и Y:

б

Дxi 4

6

8

10

12

xy

x y

yx

–

коэффициент

yi

5

8

7

9

14

Найти линейную регрессию Y на Х,

x2 x2

регрессии Y

по

X , который

yx

и xy.

показывает, на сколько в среднем

Решение.

Составляем

расчетную

изменяется переменная

Y

при

таблицу:

и

увеличении

переменной

Х

на

i

xi

yi

2

xi yi

2

единицу

xi

yi

1

4

5

16

20

25

2

6

8

36

48

64

В уравнении регрессии Х

по Y

С

3

8

7

64

56

49

xy x xy (y

y),

4

10

9

100

90

81

xy

x

y

xy

–

коэффициент

5

12

14

144

168

196

y2

y

2

40

43

360

382

405

регрессии X по Y показывает,

Система

нормальных

уравнений

на сколько в среднем изменяется

40b 360a 382;

переменная

Х

при

увеличении

5b 40a 43,

переменной Y на единицу

откуда

y

x 0,95x 1; а yx 0,95;

xy

382/5 40/5 43/4

1,88

405/5 (43/5)2