1749

10

значение из интервала ( ; x), равна:

F(x)=P( X x)= f (t)dt ,

где f(t) – плотность распределения вероятности.

Дискретная случайная величина при переходе через значения xk имеет разрыв. Между двумя соседними значениями она постоянна. Например, график функции распределения для числа очков, выпавших на верхней грани игрального кубика, будет иметь вид, изображенный на рис. 1.

F

1/6

X

1 2 3 4 5 6

Рис.1. График функции распределения

Функция же распределения непрерывной случайной величины непрерывна всюду.

4. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ

Предположим, что исследуется случайная величина X. Раз за разом воспроизводится опыт, в результате которого случайная величина X принимает какое-то значение. Но закон распределения X нам неизвестен. Как его определить? Очевидно, нет другой возможности, чем раз за разом проводить опыты, фиксировать значения, которые принимает случайная величина, и пытаться по ряду этих значений определить ее закон распределения, хотя бы приближенный. Совокупность всех значений, которые может принять случайная величина в результате проводимых опытов, называется генеральной совокупностью.

Генеральная совокупность – достаточно большая совокупность однородных объектов, некоторая характеристика которых меняется случайным образом, от объекта к объекту.

Как распределена эта характеристика по всей генеральной совокупности – в этом цель изучения этой совокупности.

Исследовать все элементы генеральной совокупности невозможно и нецелесообразно, т.к. генеральная совокупность может быть очень боль-

11

шой и потребует огромных затрат. В связи с этим из генеральной совокупности отбирают определенное число элементов и их изучают.

5. ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ МЕТОДЕ

Результаты исследований показывают, что выводы оказываются приемлемыми, если сделать отбор данных, которые точно характеризуют данное явление. Такой метод называется выборочным. Часть объектов, которая попала на проверку, называется выборочной совокупностью или просто выборкой. Число элементов в генеральной совокупности и в выборке будем называть их объемами.

Выборка из генеральной совокупности производится «случайно», т.е. каждый элемент генеральной совокупности имеет одну и ту же вероятность попасть в выборку. Однако мы хотим распространить выводы, сделанные при анализе выборки, на всю генеральную совокупность, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). Иначе, выборка должна служить моделью генеральной совокупности в смысле интересующих нас закономерностей. Следовательно, возникает проблема любого моделирования, необходимо найти баланс между двумя противоречивыми требованиями: для уменьшения процесса исследования выборки ее необходимо сделать меньше, а чтобы она была представительной, ее надо взять более объемной, поскольку только в этом случае вступает в действие закон больших чисел и обращение к теореме Ляпунова оказывается действенным.

Закон больших чисел утверждает, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянного числа – средней арифметической их математических ожиданий – не превзойдет заданного как угодно малого числа 0.

Теорема Ляпунова утверждает, если случайная величина является суммой большого числа независимых слагаемых, то она с достаточной степенью точности будет распределена по нормальному закону при условии, что действие каждого слагаемого невелико по сравнению с суммарным действием их всех.

6. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

На практике невозможно и нецелесообразно проводить и исследовать непрерывные наблюдения. Результаты показывают, что выводы оказываются приемлемыми, если сделать отбор данных, которые точно характеризуют рассматриваемое явление. Такой метод называется выборочным. Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной

13

то оно может учитываться в каждом интервале, при этом считаем, что в каждый разряд попала 12 элемента.

4. Интервалы с малым числом попавших в них элементов выборки можно объединить, но при этом изменяются концы интервалов. Изменённые концы разрядов и новое число элементов в них заносим соответствен-

разрядов должно быть не менее 8-10.

~

5. Находим середины уточнённых интервалов i и заносим их в графу №5 таблицы.

6. Определяем частоту попадания значений случайной величины в каждый интервал по формуле

Pi * ni n ,

где n объём выборки; ni число элементов, попавших в i-й разряд. Полученные значения Pi * записываем в графу №6 таблицы, при

k

этом необходимо, чтобы Pi * 1, k – число уточнённых интервалов.

i1

7.Найденные значения Pi * делим на длины соответствующих раз-

рядов, получаем плотность частоты fi * x и заносим эти значения в графу №7 таблицы.

6.3. Гистограмма

Гистограмма строится по группированной выборке. На оси абсцисс отложим все разряды. Над каждым из полученных разрядов строим прямоугольник площадью, равной частоте попадания случайной величины в данный интервал, то есть высота прямоугольника равна fi * x . В результате получим гистограмму или статистический аналог кривой распределения. Проводим плавную кривую по средним точкам верхних оснований прямоугольников гистограммы. Эта кривая даёт нам представление о графике плотности распределения генеральной совокупности. (При построении плавной кривой иногда отступают от середины верхних оснований).

Для построения гистограммы надо взять отдельный лист (лучше миллиметровой) бумаги.

15

Например, если выдвинута гипотеза о нормальном распределении, то теоретические вероятности Pi заносим в графу №10 таблицы значений:

где xi 1,xi границы соответствующих интервалов; * оценка среднего квадратического отклонения; mx * оценка математического ожидания значения.

Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной) называют гипотезу H0 .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H1, которая противоречит основной гипотезе.

Выдвинутая нулевая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверки гипотезы.

В итоге статистической проверки нулевой гипотезы могут быть допущены ошибки двоякого рода:

ошибка первого рода состоит в том, что нулевая гипотеза будет отвергнута, хотя в действительности она верна.

ошибка второго рода состоит в том, что нулевая гипотеза принимается, а в действительности она неверна.

Обозначим – вероятность совершить ошибку первого рода; –

вероятность совершить ошибку второго рода.

Для проверки нулевой гипотезы пользуются специально подобранной случайной величиной, распределение которой известно. В общем случае её обозначают K – критерий согласия, устанавливающий, когда полученное в действительности указанное отклонение следует признать несущественным, а когда существенным (неслучайным).

Наблюдаемое значение Kнабл значение критерия, которое вычислено по данным выборки.

Совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, называют критической областью.

Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают.

Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками.

Правосторонней называется критическая область K Kкр Kкр 0 ,

Kкр 0 , Kкр K2. Двусторонняя критическая область определяется не-

16

равенствами K K1, K K2, где K2 K1.

Как найти критическую точку, чтобы отыскать правостороннюю критическую область? Для этого задаются достаточно малой вероятностью

– уравнением значимости .

Уровень значимости в математической статистике это вероятность, которой можно пренебречь в данном исследовании.

Уровень значимости обычно выбирают от 0,05 до 0,001. Критическую точку находят исходя из требования, чтобы при усло-

вии справедливости нулевой гипотезы выполнялось равенство

P K Kкр .

Когда критическая точка найдена, по данным выборки вычисляют Kнабл (наблюдаемое значение критерия). В случае если окажется, что

Kнабл Kкр , нулевую гипотезу отвергают, если Kнабл Kкр нулевую гипотезу принимают.

Рассмотрим всё сказанное на примере. Пусть дана выборка, содержащая 200 элементов, то есть объём выборки n 200.

Для компактности изложения сразу приводим упорядоченную выборку. Наименьшее число равно 0,004520, наибольшее 2,127258.

1.Делим наш интервал на 20 равных интервалов длиной 0,1 и найдём число элементов, входящих в каждый интервал (см. таблицу значений).

2.Поскольку начиная с 0,7 в интервалы входит малое число элементов, объединим их так, чтобы элементов в интервале было не менее 8. Уточнённые интервалы: (0,7 – 0,9); (0,9 – 1,2); (1,2 – 1,8); (1,8 – 2,2). Уточняем ni количество элементов в интервалах. Запишем результаты в гра-

фы №3, №4.

~

3. Находим середины интервалов i и записываем их в графу №5.

(графа №7).

6. Строим гистограмму.

~

7. В графу №7 таблицы записываем промежуточные значения i Pi *

k ~

иих сумму mx* i Pi * статистическое среднее.

i1

17

Выборка

18

Таблица значений