ней распределения времени задержки транспортных средств, следующих в каждом из четырёх направлений. Прогон модели выполнить для 8 часов.

2.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

2.1Практическая работа №1

«Математические задачи» по теме «Основы математического моделирования»

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, перечень ресурсов в сети Интернет.

Цель работы: рещение математических задач.

Ход работы:

Решить следующие задачи: Задача 1:

В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физическая система S, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний:

S1— ЭВМ полностью исправна;

S2 — ЭВМ имеет незначительные неисправности в оператив-

ной

памяти, при которых она может решать задачи;

S — ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ограниченный класс задач;

S4 - ЭВМ полностью вышла из строя;

S5 — ЭВМ находится на профилактике;

Sб — ЭВМ не работает по организационным причинам;

S7 - ЭВМ не работает, праздничные и другие нерабочие дни; S8 — ЭВМ списывается.

Рассматриваемые состояния Sj ЭВМ характеризуются средним временем Tj пребывания ЭВМ в каждом j-м состоянии.

Отношение Pj=Tj/T, где Т — возможное время работы ЭВМ в данный период (месяц, квартал, год и т. д.), можно трактовать как в е- роятность Pj нахождения ЭВМ в j-м состоянии.

Вероятности Pj являются функциями времени Pj{t). Вероят-

ность нахождения ЭВМ в состоянии P(t) = P1(t) + P2(t) может быть истолкована как вероятность безотказной работы ЭВМ, т.е. как один из показателей надежности технической системы. Возможные переходы системы. S - ЭВМ из состояния Sj в состояние Sj{i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} описаны матрицей переходов. Соответствующие интенсивности потоков событий λ, переводящих ЭВМ из состояния Si в состояние Sj определяются по формулам. Необходимо:

1.Построить размеченный граф состояний системы 5-ЭВМ по заданной матрице переходов.

2.Определить интенсивности λ, используя формулы. Интенсивности λij определяются по формулам ijλ = 1/T, где T — среднее время пребывания системы S в i-м состоянии за данный период (месяц, квартал, год и т. п.).

3.Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и решить ее методом Рунге—Кутта с использованием стандартной программы на ЭВМ при следующих условиях:

а) пределы интегрирования: нижний — 0, верхний — 50; б) шаг интегрирования — 0,5;

в) начальные условия: P1(t) = 1, Р2(t) = 0, j = 2, 3, ..., п;

г) результаты вывести на печать в точках 1, 5, 10, 15, ...,50 с точностью Е = 10^(-3)/

4. Получить значения вероятности безотказной работы ЭВМ Р(/) и построить график зависимости вероятности от времени.

Задача № 7:

В ремонтную мастерскую с 4 мастерами принимают не более 7 заявок в день, известно среднее число поступающих в час заявок (λ) и среднее время обслуживания (Тобс). Найти основные показатели эффективности. В таблице 1 представлены исходные данные по вариантам.

Таблица 1 – Исходные данные по вариантам для задачи № 7.

Задача № 11:

Диспетчерский пункт принимает заявки на ремонт по нескольким телефонам. Известно среднее число заявок, поступающих в час

(λ) и среднее время оформления Тоб. Требуется определить минимальное количество телефонов, при котором вероятность отказа будет

менее 10 %. При найденном значении m определить абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов. Исходные данные для задчи № 11 предствлены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 – Исходные данные для задачи № 11.

Указание: поскольку явно из общей формулы для нахождения вероятностей выразить m нельзя, то нужно организовать (удобно на листе Excel) пошаговую процедуру определения Рn для каждого значения m (см. формулы на стр. 32). При этом нужно найти все пром е- жуточные вероятности от Р0 до Рn. Убедиться, что их сумма равна 1 и последняя вероятность меньше 0,1.

2.2 Практическая работа №2 «Введение в математическое моделирование» по теме

«Базовые принципы математического моделирования»

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3, перечень ресурсов в сети Интернет.

Цель работы: ознакомление с теоретическим материалом по математическому моделированию.

Ход работы:

В рамках практической работы необходимо раскрыть следующие аспекты:

−Определение и задачи моделирования.

−Классификация моделей.

−Определение и назначение математического моделирования.

−Принципы и правила математического моделирования.

−Примеры ситуаций, решаемых с помощью математического моделирования.

−Бесконечное замедление.

По результатам работ составить отчет в электронном виде.

3. ТЕМЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ ФОРМЕ КОНТРОЛЯ

1)Понятие модели. Определение экономико-математической модели. Три примера.

2)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

3)При проектировании СМО с отказами число каналов обслу-

живания и производительность были рассчитаны на характерную для района интенсивность потока заявок. Но плотность заявок удвоилась. Что целесообразней удвоить количество каналов или производительность одного канала. Рассчитать характеристики систем при

n=1, λ=3/2, µ=1/2

4)Описание вида связи с помощью диаграммы рассеяния и простейших регрессионных линейных моделей. Оценка качества моделей с помощью коэффициента детерминации.

5)Организация приоритетного обслуживания в GPSS. Захват и прерывания устройства.

6)Смоделировать работу системы на языке GPSS .На обрабатывающий участок цеха поступают детали в среднем через 50 мин. Первичная обработка производится на одном из двух станков. Пер-

вый обрабатывает деталь 40 мин и имеет 4% брака, вт орой 60 мин и 8% брака. Все бракованные возвращаются на повторную обработку на 2 станок. Детали, попавшие дважды в брак, считаются отходами. Вторичная обработка занимает 100мин. Причем первый станок обрабатывает имеющиеся в накопителе детали, а второй подключается, если в накопителе больше 3 деталей. Все распределено по экспоненциальному закону. Смоделировать обработку 500 деталей.

7)Основные требования к ЭМ.

8)Матрицы переходных вероятностей, расчет вероятностей состояний системы по начальному вектору в момент времени t.

9) Техническое устройство состоит из двух узлов и может н а- ходиться в одном из следующих состояний:

•Оба узла исправны;

•Неисправен только первый узел;

•Неисправен только второй;

•Неисправны оба.

10) Вероятность выхода из строя после месячной эксплуатации для первого узла 0,4; для второго 0,3; совместного 0,1. В исходном состоянии оба узла исправны, работают. Запишите матрицу переходных вероятностей и найдите вероятности состояний после двухмесячной эксплуатации.

11) Сущность метода МНК.

12)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

13)Смоделировать работу системы на языке GPSS.

На сборочный цех с интервалом 10 мин поступают партии, каждая состоит из 3 одинаковых деталей. Половина деталей перед сборкой проходит предварительную обработку в течение 7 мин. На сборку подается обработанная и необработанная деталь. Процесс сборки занимает 8 мин, затем регулировка 8 мин. В результате сборки возможно появление 4 % бракованных деталей, которые не идут на регулировку, а направляются снова на предварительную обработку. Провести моделирование в течение 24 часов.

14)Классификация моделей. Выделение классификационных признаков.

15)Непрерывные марковские процессы. Система уравнений Колмогорова. Финальные вероятности состояний, эргодические системы.

16)Построить систему Колмогорова для графа с заданными интенсивностями. Найти финальные вероятности.

17)Критериальный подход к моделированию экономических рисков. Критерий Гурвица.

18)Моделирование систем массового обслуживания.

Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

19) Смоделировать работу системы на языке GPSS в течение

дня.

В системе передачи данных осуществляется обмен пакетами данных по дуплексному каналу. Пакеты поступают с интервалом 10+- 3мс. Передача пакета занимает 10 мс. В пунктах имеются буферные регистры, которые могут хранить два пакета. Если они заняты, то в этот момент предоставляется выход на спутниковую антенну, время обслуживания 10+-5, если и она занята, то отказ.

20)Критериальный подход к моделированию экономических рисков . Критерий Сэвиджа.

21)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные

характеристики.

22)На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслуживания, поступает в среднем 120 заяв/час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки простейшие. Найти основные характеристики системы.

23)Критериальный подход к моделированию экономических рисков. Критерий Вальда.

24)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

25)На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслуживания, поступает в среднем 120 заяв/час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном

канале равно 4 мин. Все потоки простейшие. Смоделировать работу этой системы на языке GPSS в течение одного дня.

26)Критериальный подход к моделированию экономических рисков. Критерий Лапласа.

27)Моделирование случайных величин. Генераторы случайных чисел. Моделирование случайных функций. Метод статистического моделирования Монте-Карло.

28)Смоделировать работу системы на языке GPSS в течение

одного дня.

В машинный зал с интервалом времени 10+-5 приходят пользователи. В зале одна ЭВМ. Время, необходимое для решения задачи 15+-5 мин. Третья часть пользователей производит вывод на печать, продолжительность 3+-2 мин. В машинном зале не допускается более 7 пользователей в очереди. Вывод программы на печать не мешает проведению расчетов. С интервалом времени 40+-5 появляются срочные задания, которые имеют больший приоритет в обслуживании, они выполняются 2+-1 мин. Смоделировать процесс обслужива-

объекты, блоки, принципы построения моделирующих алгоритмов. 31) В вычислительную систему, работающую в системе

управления некоторым процессом, поступает информация от датчиков через каждые 3+-1 сек. До обработки на ЭВМ сообщения накапливаются в буфере емкостью в одно сообщение. Продолжительность обработки 5+-2 сек. Динамика процесса такова, что есть смысл обрабатывать только сообщения, ожидавшие в памяти не более 12 секунд. Остальные считаются потерянными. Смоделировать процесс поступления 200 сообщений.

32) Процедура нормализации критериев. Реализация процедуры нормализации в зависимости от содержательной формулировки обобщенного критерия (максимальная эффективность, минимум потерь). Основные этапы и модели расчетов.

33)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

34)Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами.

Входной поток имеет интенсивность 3 заяв./час. Среднее время обслуживания 0,5 час. Содержание канала обходится 3$/час. Обслуженная заявка приносит доход 5$/час. Выгодно ли увеличить число каналов? До какого количества?

35)Программирование статистической и запоминающей категории языка моделирования GPSS WORLD

36)На автозаправочной станции три колонки для бензина. На станции площадка на три машины для ожидания в очереди. Машины