598
.pdf
|
|
|
|
q a |
2 |
2lnr 1 |
C |
|
|
|
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
|
8D |
|
|
2 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Совместным решением (2.36) и (2.37) определяем |
|||||||||||||||||||||||||||
С |
q a2 |
|
a2 2lna 1 1 b2 2lnb 1 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
4D |
|
|
|
|
|
|
a2 1 b2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
q a2 b2 |
|
2lnb 1 C |
b2 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||||
|
|
По третьему условию, при известных С1 |
и С2 , находим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С3 |
q a2 |
b2 |
2lnb 1 |
C1 |
b2 C2 lnb. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение значений изгибающих моментов |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mr |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mt D |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|||||||||
(2.39)
(2.40)
(2.41)
C3:
(2.42)
(2.43)
(2.44)
Подставим (2.38) и (2.39) в уравнения моментов с учетом известных С1, С2 , (согласно (2.40), (2.41)), построим эпюры моментов.
Определение значений прогибов пластины
|
|
q a2 |
r2 |
lnr 1 |
C r2 |
|
По формуле |
w |
|
|
1 |
С2 lnr С3, при оп- |
|
8D |
|
|||||
|
|
4 |
|
|||
ределенных ранее С1, С2 и С3, строим эпюру прогибов. Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по
зависимостям r 6 hM2 r и
жесткости r max 6 Mr max h2
t 6 Mt . В соответствии с условием h2
изг 5% производим корректиров-
ку толщины сечения h.
Вопросы для самопроверки
1.Какое тело называется тонкой пластиной?
2.Что такое срединная поверхность (плоскость)?
3.Формы контура пластины?
5.Гипотезы Кирхгофа, определяющие инженерную теорию изгиба пластин?
6.Какие напряжения приняты при изгибе круглых пластин?
7.Моменты изгибающие, возникающие при изгибе?
8.Углы и прогибы при изгибе пластин, их определение?
9.Граничные условия для расчетных схем закрепления пластин?
10.Как определяют правую часть дифференциальных уравнений углов поворота срединных поверхностей (согласно расчетным схемам)?
11.В чем заключается проверочный расчет круглой пластины?
Библиографический список
1.Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. Уч. пособие для студентов вузов.– М.: Машиностроение, 1973.
2.Доннелл Л.Г. Балки, пластини и оболочки: Пер. с англ./ Под ред. Э.И. Григолюка. – М.: Наука, 1982.
3.Искрицкий Д.Е. Строительная механика элементов машин.– Л.: Судостроение, 1969.
4.Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Уч. курс. – СПб.: Питер, 2005.
5.Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. – СПб.: БХВ – Петербург, 2004.
6.Папкович П.Ф. Тр. По строительной механике корабля в 4-х томах. Т. 3. Сложный изгиб стержней и изгиб пластин./ Под общ. Ред. В.В. Екимова.– Л. Судостроение, 1962.
7Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. – СПб.: БХВ – Петербург, 2007.
8.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки: Пер. с англ.
– М.: Наука, 1966.
3. Численный пример расчета в среде
MathCAD
Пластина, с распределенной загрузкой q защемленная по контуру (по рис. 5)
Q |
q |
|
|
|
h |
|
r |
a |
|
|
Рис. 5 |
Исходные данные: |
|
|
Распределенная нагрузка q 40 кН/м |
|
|
|||
1. |
Толщина h 0.003 м; |
|
|
|
|
|
2. |
Радиус a 0.15 м; |
|
|
|
|
|
3. |
Коэффициент Пуассона 0.25; |
|
|
|
||
4. |
Модуль упругости E 200 ГПа. |
|
|
|
||
Примечание: В виду симметрии эпюры изображены на радиусе. |
|
|||||
|
|
Основные формулы |
|
|
|
|
Угол поворота нормалей сечений к срединной поверхности пла- |
||||||
стины dw |
qr a2 r2 , рад – (рис. 5.1). |
|
|
|
||
|
dr |
16D |
|
|
|
|
|
0.008 |
|
|
|
|
|
|
0.006 |
|
|
|
|
|
|
(r) 0.004 |
|
|
|
|
|
|
0.002 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0.05 |
0.1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
q |
a2 r2 2 , |
|
|
Прогиб |
пластины |
w |
||
|
|
|
|
|
64D |
|
м – (рис. 5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
w(r) 4 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 10 4 |
0 |
|
|
0.05 |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
|
|
Момент изгибающий радиальный Mr |
q a2 1 r2 3 , |
|||||||
Нм/м – (рис. 5.3). |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mr(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
0.02 |
0.04 |
0.06 |
0.08 |
0.1 |
0.12 |
0.14 |
0.16 |
0 |
||||||||
|
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
|
|
Момент изгибающий тангенциальный, Нм/м – (рис. 5.4) |
||||||||
Mt q a2 1 r2 1 3 , Нм
16
|
80 |
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
Mt(r) |
20 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
40 |
0.05 |
0.1 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
Рис. 5.4 |
|
Напряжение радиальное r |
6Mr |
, Н/м2 – (рис. 5.5). |
||
|
|
|
h2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
5 10 |
|
|
|
0
r(r)
5 107
|
|
1 108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 |
0.1 |
|
||||||
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
Рис. 5.5 |
|
|||||
Напряжение тангенциальное, t |
|
6Mt |
, Н/м2 |
– (рис. 5.6). |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
||
|
6 |
107 |
|
|
|
4 |
107 |
|
|
t(r) |
2 |
107 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 107 |
0.05 |
0.1 |
|
|
|
0 |
||
|
|
|
Рис. 5.6 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
Расчетные схемы пластин |
||
Таблица 1
№ |
Схема |
Нагрузка |
Фор- |
Граничные |
п/п |
|
Q r |
мулы |
условия |
1 |
|
|
q r |
(2.6); |
Общие условия |
|
|
|
F |
(2.7) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Q |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q r |
(2.10); |
r 0; 0; |
|
|
|
(211); |
r a; 0; |
|
2 |
|
h |
(2.12); |
||
|
|
2 |
(2.13) |
r a;w 0 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
r |
(2.10); |
r 0; 0; |
3 |
|
|
(211); |
r a;Mr 0; |
|
|
|
q |
(2.12); |
r a;w 0 |
|
|
|
|
2 |
(2.13) |
|
|
|
|
|
|
4
5
M1 |
(2.26); |
1.r b;Mr |
M1 ; |
(2.27); |
2.r a;Mr |
M2 ; |
|
M2 |
(2.29); |
3.r a;w 0 |
|
(2.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.34); |
r b; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.35); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qa2 |
(2.43); |
r a;Mr 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.44) |
r b; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные
Таблица 2
№ |
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
|
q кН/м2 |
|
|
|
|
||
вар. |
Схема |
M1; М2 |
h м |
a м |
µ |
E ГПа |
|
|
|
кНм/м |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
40 |
0,004 |
0,15 |
0,25 |
210 |
|
2 |
3 |
35 |
0,005 |
0,18 |
0,25 |
210 |
|
3 |
5 |
30 |
0,003 |
0,16 |
0,3 |
200 |
|
4 |
2 |
25 |
0,0025 |
0,14 |
0,3 |
200 |
|
5 |
4 |
0,4; |
0,2 |
0,006 |
0,12 |
0,25 |
210 |
6 |
4 |
3; |
2 |
0,0045 |
0,13 |
0,25 |
200 |
7 |
2 |
32 |
0,003 |
0,10 |
0,3 |
200 |
|
8 |
3 |
36 |
0,004 |
0,12 |
0,25 |
210 |
|
9 |
5 |
44 |
0,006 |
0,16 |
0,25 |
210 |
|
10 |
2 |
46 |
0,009 |
0,18 |
0,3 |
200 |
|
11 |
4 |
0,4; |
0,5 |
0,008 |
0,18 |
0,3 |
200 |
12 |
5 |
20 |
0,003 |
0,12 |
0,25 |
210 |
|
13 |
2 |
25 |
0,003 |
0,13 |
0,3 |
210 |
|
14 |
3 |
28 |
0,0025 |
0,12 |
0,3 |
200 |
|
15 |
4 |
0,4; |
0,2 |
0,005 |
0,13 |
0,3 |
200 |
16 |
5 |
35 |
0,006 |
0,14 |
0,25 |
210 |
|
17 |
3 |
38 |
0,006 |
0,15 |
0,25 |
200 |
|
18 |
2 |
35 |
0,007 |
0,18 |
0,3 |
200 |
|
19 |
4 |
0,3; |
0,2 |
0,008 |
0,19 |
0,3 |
210 |
20 |
5 |
45 |
0,008 |
0,20 |
0,25 |
200 |
|
21 |
3 |
35 |
0,006 |
0,15 |
0,25 |
200 |
|
22 |
2 |
30 |
0,005 |
0,15 |
0,3 |
210 |
|
23 |
4 |
0,4; |
0,1 |
0,006 |
0,16 |
0,3 |
200 |
24 |
4 |
0,4; 0,2 |
0,007 |
0,14 |
0,25 |
200 |
25 |
5 |
30 |
0,005 |
0,15 |
0,3 |
210 |
Примечание: размер центрального защемления в схеме 5 равен b a/4.
Решение задачи в среде MathCAD
Круглая пластина с распределенной нагрузкой, защемленная по контуру
q 5 106 a 0.05 r1 0 0.01 0.05 0.3
|
|
2 |
2 |
|
M1(r1) |
q a |
|
(1 ) r1 (1 |
3 ) |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
r1 |
M1(r1) |
01.016·103
0.01956.25
0.02778.125
0.03481.25
0.0465.625
0.05-468.75
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра окружного момента, Нм/м |
|
||
|
1000 |
|
|
|
|
|
M1(r1) |
500 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус пластинки, м |
|
|
|
|
500 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
r1 |
|
|
q 5 106 a 0.05 r 0 0.01 0.05 0.3
|
|
|
2 |
(1 ) r |
2 |
|
|
M(r) |
q a |
|
|
(3 ) |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
M(r) |
|
|
||
0 |
1.016·103 |
|
|
|
|
1·10 -3 |
1.015·103 |
|
|
|
|
2·10 -3 |
1.012·103 |
|
|
|
|
3·10 -3 |
1.006·103 |
|
|
|
|
4·10 -3 |
999.125 |
|
|
|
|
5·10 -3 |
989.844 |
|
|
|
|
6·10 -3 |
978.5 |
|
|
|
|
7·10 -3 |
965.094 |
|
|
|
|
8·10 -3 |
949.625 |
|
|
|
|
9·10 -3 |
932.094 |
|
|
|
|
0.01 |
912.5 |
|
|
|
|
0.011 |
890.844 |
|
|
|
|
0.012 |
867.125 |
|
|
|
|
0.013 |
841.344 |
|
|
|
|
0.014 |
813.5 |
|
|
|
|
0.015 |
783.594 |
|
|
|
|
0.016 |
751.625 |
|
|
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
Эпюра меридионального момента, Нм |
|
|||
1000 |
|
|
|
|
|
500 |
|
|
Mr |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
M(r) |
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
1500 |
радиус пластинки, м |
|
|
||
2000 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
0 |
|||||
|
|
|
r |
|
|
|
Круглая пластина с защемлением по контуру |
|
|||
Определение прогиба в пластинке, м
q 5 106 |
a 0.05 |
r 0 0.01 0.05 |
0.3 |
h 0.005 |
|
|
E 200 109 |
|
|
|
|
|
|
D E |
h3 |
a2 r2 2 |
|
|
12 1 2 |
||
|
|
|
|
||
w(r) q |
64 D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
w(r) |
|
|
|
0 |
|
2.133·10 -4 |
|
|
|
1·10 -3 |
|
2.131·10 -4 |
|
|
|
2·10 -3 |
|
2.126·10 -4 |
|
|
|
3·10 -3 |
|
2.117·10 -4 |
|
|
|
4·10 -3 |
|
2.106·10 -4 |
|
|
|
5·10 -3 |
|
2.09·10 -4 |
|
|
|
6·10 -3 |
|
2.072·10 -4 |
|
|
|
7·10 -3 |
|
2.05·10 -4 |
|
|
|
8·10 -3 |
|
2.025·10 -4 |
|
|
|
9·10 -3 |
|
1.997·10 -4 |
|
|
|
0.01 |
|
1.966·10 -4 |
|
|
|
0.011 |
|
1.931·10 -4 |
|
|
|
0.012 |
|
1.894·10 -4 |
|
|
|
0.013 |
|
1.854·10 -4 |
|
|
|
0.014 |
|
1.811·10 -4 |
|
|
|
0.015 |
|
1.766·10 -4 |
|
|
|
2.5 10 4 |
Эпюра прогибов пластинки на радиусе n, м |
||||
|
|||||
2 10 4 |
|
|
|
|
|
1.5 10 4 |
|
|
|
|
|
w(r) |
|
|
|
|
|
1 10 4 |
|
|
|
|
|
5 10 5 |
радиус пластинки, м |
|
|
||
|
|
|
|||
0 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
0 |
|||||
|
|
r |
|
|
|
|
Определение угла поворота в пластинке |
||||
r 0 0.001 0.05 |
a2 |
r2 |
(r) q r
16 D