217

Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Кафедра высшей математики

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Методические указания с расчетно-графическими заданиями для студентов

всех специальностей по дисциплине «Математика»

Составитель В.И.Белков

Омск Издательство СибАДИ

2002

Введение

Методические указания с расчетно-графическими заданиями (РГЗ) посвящены разделу «Теория вероятностей» для студентов всех специальностей.

Цель РГЗ – способствовать усвоению указанного раздела курса «Высшая математика».

Каждому студенту предлагается 11 задач. Каждая задача имеет номер, состоящий из двух чисел. Первое число – номер задачи, второе – номер варианта. В конце работы приведены приложения, в которых указаны все используемые функции и распределения случайных величин.

Понятие случайной величины является одним из основных понятий в теории вероятностей. Оно тесно связано с понятием случайного события. Если случайное событие – это качественная характеристика результата опыта со случайными исходами, то количественной характеристикой такого опыта является случайная величина. Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Для общего описания случайных величин используются законы распределения. К ним относятся ряд распределения, функция распределения, плотность вероятностей, таблицы распределения и т.д. Для описания какой–либо особенности случайной величины или системы случайных величин служат числовые характеристики. Это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, корреляционный момент, коэффициент корреляции и т.д.

Приступая к решению РГЗ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал. Рекомендуемая литература указана в конце работы.

Во время защиты РГЗ студент должен уметь отвечать на любой из контрольных вопросов, перечисленных ниже, и решать задачи аналогичного типа.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной величины. Приведите пример случайных величин применительно к вашей специальности.

2.Что называют законом распределения случайной величины?

3.Какие способы задания дискретной и непрерывной случайных величин вы знаете?

4.Дайте определение функции распределения случайной величины и её свойств.

5.Что такое плотность вероятности и какими свойствами она обладает?

6.Перечислите типичные распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

7.Каково влияние параметров, входящих в законы распределения?

8.Запишите плотность вероятности нормального распределения и изобразите кривую Гаусса. Объясните роль параметров.

9.Как вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал для случайной величины, распределённой по нормальному закону. Сформулируйте правило трех сигм. Поясните смысл этого правила.

10.Какова роль числовых характеристик и какие числовые характеристики вы знаете?

11.Дайте определение математического ожидания и укажите его свойства.

12.Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения и назовите их свойства.

13.Запишите формулы вычисления М(Х), D(X).

14.Чему равны М(Х) и D(X) для типичных распределений?

15.Объясните суть теоремы и неравенства Чебышева и теоремы Бернулли.

16.Сформулируйте теорему Ляпунова и поясните её смысл.

17.Что вы знаете о законе распределения системы случайных величин?

Приведите примеры системы дискретных случайных величин, системы непрерывных случайных величин.

18.Приведите алгоритм построения доверительного интервала для неизвестного параметра с заданной надёжностью.

Указания к решению задач

Здесь приводятся рекомендации к решению задач 6, 7, 9, 10, 11

Указания к выполнению задачи 6

1.

2. Ознакомиться с краткими сведениями о системе случайных дискретных величин. Обратить внимание на способы задания, системы двух случайных дискретных величин (Х, У) , числовые характеристики, зависимость и независимость случайных величин, коэффициент корреляции и его свойства. В случае системы двух дискретных случайных величин необходимо проверить условие

Pij 1,

i 1 j 1

где Pij = P(X = xi, У = уj) – есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение хi и одновременно с этим случайная величина У примет значение уj.

3.Написать законы распределения составляющих систему случайных величин Х и У в виде ряда распределения.

4.Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),

М(ХУ).

5.Вычислить μху и rху.

6.Определить вероятность попадания значений (Х, У) в заданную об-

ласть D, т.е. Р((Х, У) D).

Задача

Закон распределения системы (Х, У) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции rху и вероятность попадания (Х,У) в область

D.

x ;

Область D:

3 у 0,5

1. Проверим условие

4 3

Pij 0,03+0,06+0,10+0,08+0,05+0,09+0,15+0,10+0,06+0,07+0,12+

i 1 j 1

+0,09 = 1.

2. Составим законы распределения Х и У в виде

Аналогично находятся Р2(Х2) = Р(-1) = 0,06+0,09+0,07 = 0,22 и т. д.

4

Р1 (У1) = Рi1 0,03+0,06+0,10+0,08=0,27,

i 1

Р2(У2) = Р(-1) = 0,05+0,09+0,15+0,10 = 0,39, аналогично Р3(У3) = Р(0).

3. Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(Х), D(У), σ(Х), σ(У), M(ХУ).

В нашей задаче М(Х) = -0,37; М(У) = -0,93; М(Х2) = 1,75;

М(У2) = 1,47; D(Х) =1,61; D(У) = 0,61; σ(Х) = 1,27; σ(У) = 0,77.

4 3

М(ХУ) = хiуjPij (-2)∙(-3)∙0,03 + (-2)∙(-1)∙0,06 + (-2)∙1∙0,08+(-1)∙

=Р(-1;-3) + Р(-1;-1) + Р(0;-1) + Р(1;1) + Р(-3;-2) + Р(-1;-2) + Р(0;-2) =

=0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,09 + 0,10 + 0,15 + 0,08 + 0,10 = 0,66.

Указания к выполнению задачи 7

1.Ознакомиться с краткими сведениями о системе двух непрерывных случайных величин. Обратить внимание на способы задания такой системы, числовые характеристики, коэффициент корреляции.

2. Найти параметр А из условия f(x,у)dxdy = 1.

D

3.Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),

М(ХУ).

4.Вычислить μху, rху.

Задача

Дана плотность вероятности системы случайных величин f(x,у). Найти параметр А, коэффициент корреляции rху.

0, вне области D,

1.Найдём параметр А, при котором данная функция f(х, у) может слу-

жить плотностью совместного распределения вероятностей двумерной

случайной величины (Х, У) из условия f(x,у)dxdy = 1.

D(X) = M(X2) – M2(X) = 2 02 0,67. 3

D(У) = M(У2) – М2(У) = 2 02 0,67. 3

σ(Х) = D(X) 0,82, σ(У) = 0,82.

Указания к выполнению задачи 9

Вначале следует изучить типичные распределения случайных величин, обратив особое внимание на равномерное, экспоненциальное и нормальное распределения и как параметры этих распределений связаны с числовыми характеристиками. Ещё раз вспомнить свойства числовых характеристик для зависимых и независимых случайных величин.

Проведём некоторые полезные формулы, вытекающие из свойств числовых характеристик. Пусть X и У независимые случайные величины, тогда:

1.М(ХУ) = М(Х)∙М(У),

2.D(X У) = D(X) + D(У),

3.М(Х2) = D(X) + М2(Х),

4.D(XУ) = М((ХУ)2) – М2(ХУ) = М(Х2У2) – М2(Х)∙М2(У),

5.D(XУ) = D(X)∙D(У) + М2(Х)∙D(У) + М2(У)∙D(X).

6.Если Х и У – зависимые случайные величины, то М(ХУ) = М(Х)∙М(У) + μХУ.

Задача

Случайные величины Х и У независимы.

Найти М (3Х +У2 +2); D(3Х – 3УХ + 2).

1. Случайная величина Х распределена равномерно. Для этого закона

С= 1 (объясните, почему?)

2

2. Случайная величина У распределена по нормальному закону, следовательно, М(У) = -3; D(У) = 16 (объясните, почему?).

3. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, находим:

М(3Х + У2 + 2) = 3М(Х) +М(У2) + 2 = Для вычисления М(У) можно = использовать формулу 3.

= 3∙1 + 16 + 9 + 2 = 30.

Какие свойства математического ожидания здесь были использованы?

D(3Х –3УХ +2) = 9D(Х) + 9D(ХУ) + 0 = Для вычисления D(Х У) =

можно использовать формулу 5.

= 9∙1/3 + 9(1/3∙16 + 12∙16 + 9∙1/3) =222.

Чему равны здесь D(2) и D(3Х) и почему?

Указания к выполнению задач 10 и 11

Весь необходимый материал для решения этих задач можно найти, например в учебнике В.Е.Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика».

Следует различать точечные и интервальные оценки для неизвестных параметров. Точечные оценки при малом числе наблюдений могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы их избежать, пользуются интервальными оценками, которые определяются двумя числами – концами интервала. Если интервал найден, то с надёжностью γ можно считать, что он «накроет» оцениваемый параметр а.

Задача 1

1.1. Мяч бросается в корзину до первого попадания, но число бросков не больше 6. Составить ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания при каждом броске мяча в корзину Р = 0,3.

1.2. Опыт состоит в трёх независимых бросаниях монеты, при каждом из которых вероятность выпадения герба Р = 0,5. Составить ряд распределения числа появлений герба.

1.3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда

предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора Р = 0,9.

1.4. Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего прекращаются. Найти ряд распределения числа опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,6.

1.5. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадает. Построить ряд распределения числа бросков,

сделанных первым баскетболистом, если вероятность попадания при каждом броске для первого баскетболиста равна 0,4, а для второго – 0,6.

1.6. Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 даёт 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо № 3 – 1 очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и 3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить ряд распределения суммы выбитых очков в результате трёх попаданий.

1.7.Производятся испытания на надёжность шести изделий. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,3. Построить ряд распределения числа изделий, выдержавших испытания.

1.8.Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Составить ряд распределения числа неисправных аппаратов среди отобранных.

1.9.Составить ряд распределения суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных кубиков.