y kx b ,

(3.32)

де k

A

, b

C

. З’ясуємо геометричний зміст коефіцієнтів k

і b (рис. 3.11),

B

B

вважаючи що ці коефіцієнти додатні. Якщо у рівняння (3.32) підставити x 0 ,

знайдемо, що y b .

Отже т. F 0;b належить прямій, а b

визначає відрізок,

який відтинається прямою на осі

Oy

. Якщо ж у

(3.32)

b 0

,

тоді пряма

проходить через початок координат. Знайдемо точку

L перетину цієї прямої з

віссю Ox . Оскільки координата

y

цієї точки дорівнює нулю, то з рівняння

kx b 0 знайдемо

координату

x

цієї

очки. Таким

чином, знайдено точку

b

b

L

;0 . Розглянемо LFO O

, у якому OF

b й

OL

. Знайдемо

k

2

k

tg

OF

або

tg k

(3.33)

OL

y y0 k x x0 ,

(3.34)

Будь-яка пряма

на площині може бути задана

за

допомогою точки

M0 x0 ; y0 , через яку вона проходить, і ненульового вектора

s m;n , до якого

вона паралельна (рис.

3.11). Для будь-якої точки M ,

що належить прямій,

x x0

y y0

,

(3.35)

m

n

Вектор

s , до якого пряма паралельна, називається її напрямним вектором.

З іншого боку,

з колінеарності векторів

s і M 0 M випливає, що існує

x x

mt

число t R таке, що

M 0 M t s

,

або в координатній формі

0

. Тоді

y y

nt

0

отримаємо:

x mt x

0

.

(3.36)

y nt y

0

Рівняння (3.36) називаються параметричними рівняннями прямої на

площині. Тут також вектор

s m;n – напрямний вектор

прямої,

точка

M0 x0 ; y0 належить цій прямій, а t R – параметр.

Будь-яка пряма однозначно визначається своїми двома точками. Нехай

точки M1 x1; y1 і M2 x2 ; y2 належать прямій.

Тоді в якості вектора s

можна

взяти вектор M1M2 x2

x1; y2

y1; z2

z1 , а в якості точки M 0 –

точку M1 .

Тоді з рівняння (3.35)

отримаємо рівняння прямої, що проходить через дві

точки:

x x1

y y1

,

(3.37)

x x

y

y

2

1

2

1

4. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Нехай пряма не проходить через початок координат і перетинає осі

координат у точках

M1 a;0 і M

2 0;b , тоді з (3.37) отримаємо

x - a

y 0

,

0 a

b 0

або

x

y

1,

(3.38)

a

b

прямої з

Oy

є

M

2

(0, 4)

. Отже, задане рівняння можна записати згідно (

3.38)

у

відрізках на осях

x

y

1.

6

4

cos

s1

s2

m1m2 n1n2

(3.41)

s1

s2

m2

n2

m2

n2

1

1

2

2

і

cos

n

n

A A B B

.

(3.42)

1

2

1

2

1

2

n

n

2

B

2

A

2

B

2

1

2

A

1

1

2

2

Якщо прямі l1 і l2 паралельні, то кут

та напрямні вектори

і нормалі

паралельні. Отже, отримаємо такі умови паралельності прямих

k1 k2

або

m1

n1

або

A1

B1

(3.43)

m2

A2

B2

n2

Якщо ж прямі перпендикулярні,

то кут

, при якому tg

не існує, а

2

cos 0 .

tg

З (

3.40

) маємо, що

не існує,

якщо знаменник правої частини

дорівнює

нулю 1

k1 k2 0

, а з (

3.41

) і (

3.42

) отримуємо,

що

чисельники

k2

1

або

s1 s2 0

або n1 n2 0

(3.44)

k

1

Приклад. Написати рівняння прямої, що проходить через точку

A 1;2

перпендикулярно до прямої, яка проходить через точки

M1

2;4 і M2

5;1 .

x 2

y 4

або

x 2

y 4

.

5 2

1

4

7

3

Приведемо це рівняння до рівняння з кутовим коефіцієнтом, для цього

виразимо з нього

y через x

. Маємо

y

3

x

10

.

7

3

З останнього рівняння

визначимо

кутовий

коефіцієнт

k1

3

.

7

Використовуючи

умову

перпендикулярності

(

3.44

),

знайдемо

кутовий

коефіцієнт шуканої прямої

k

1

7

.

Знаючи точку,

через яку проходить

2

k

3

1

пряма та її кутовий коефіцієнт, з (

3.34

) визначимо рівняння шуканої прямої

y

2

7

x 1

y

7

x

13

або

.

3

3

3

Нехай пряма l задана загальним

рівнянням

Ax By C 0 . Знайдемо

відстань від точки M

0 x0

; y0 до прямої l

(рис. 3.13).

Відстань від т.

M 0

до прямої l

дорівнює модулю проекції вектора M1M 0

на нормаль n A; B , де

M1 x1; y1 довільна точка, яка належить прямій

l :

n M

M

Ax By

Ax By

d прn M1M0

0

0

0

1

1

1

.

n

A

B

2

2

Рис. 3.13.

Оскільки т. M1 l , отже

Ax1 By1 C 0

або C Ax1 By1 . Тому