ЛЕКЦІЯ № 5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

властивості функцій

Нехай задано дві непусті множини X і Y .

Означення. Відповідність f ,

яка кожному елементу x X

ставить у

відповідність один

та

лише

один

елемент

y Y , називається

функцією і

записується y f x .

Якщо множини

X ,Y є підмножинами множини дійсних чисел , тоді

f x – числова

функція.

Функцію можна задати різними

способами:

допомогою таблиці, то маємо табличне завдання функції.

Множина X , для кожного елементу якої визначене значення функції,

називається областю визначення функції і позначається D

f , а множина всіх

можливих значень функції називається областю значень функції та

позначається E f .

Означення. Функція y f x

називається парною, якщо для будь-якого

значення

x D f , значення x також належить D f і f x f

x .

Графік парної функції симетричний відносно осі Oy .

Означення. Функція y f x

називається непарною, якщо для будь-

якого значення x D f , значення x також належить D f і

f x f x .

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Означення. Якщо для будь-яких x1 , x2 D1 D f з нерівності

x1 x2

випливає

нерівність

f x1 f x2

( f x1 f x2 ),

тоді

функцію

f x

називають зростаючою (спадною) на множині D1 . На рис. 1.1

зображено

графіки зростаючої (а) та спадної (б) функцій.

Означення. Якщо ж замість строгих нерівностей маємо нестрогі, тобто

f x1 f x2

або

f x1 f x2 ,

тоді функцію

називають

відповідно

а)

(б)

Рис. 1.1

Означення. Функція

f x називається обмеженою на множині D , якщо

існує таке число

M 0,

що

для

будь-якого x D

виконується

нерівність

f x

M .

y sin x

Наприклад,

функція

обмежена на всій області визначення, тому

що sin x 1

x R ( M 1).

Означення.

Функція

f

x

з

областю визначення

D

називається

періодичною, якщо існує таке число

T 0 , що для будь-якого x D

і x kT

також належить D при всіх

k

і виконується

рівність

f x f x kT .

Число T

називають періодом функції.

Нехай

задана функція

y f

x

з областю

визначення

D

і областю

значень

E .

Якщо будь-якому

y E

відповідає

єдиний

x D ,

такий що

y f x , тоді кажуть,

що визначена функція

x g y

з областю визначення E

і областю значень

D . Таку функцію

x g y

називають оберненою до функції

y f x і в загальному випадку записують так: x f

1

y .

Наприклад,

для функції

y ln x D( y) 0; , E( y) R

оберненою є

функція

x e

y

D(x) R, E(x)

0; .

Нехай функція

y f u

визначена на множині D

і функція u g x

визначена на множині

D1 ,

причому для будь-якого

x D1

маємо

u g x D ,

тоді на множині D1 визначена функція

y f g x ,

яку називають складною

функцією від

x

або композицією функцій y f u

і

u g x . Змінну u g x

називається

функція вигляду

Pn (x) a0 x

n

a1x

n 1

... an 1x an , де числа

a0 , a1 ,..., an R називають коефіцієнтами, a0

0

старшим коефіцієнтом.

Якщо

n 0, P0 (x) a0 стала величина і

вважається многочленом 0

степеня.

2. Дробово-раціональні функції або раціональні дроби.

Дробово-раціональною функцією називається функція, яка є

відношенням двох многочленів степенів m і n відповідно:

R(x)

P

(x)

m

.

Q

(x)

n