Кинематика вращательного движения

Произвольное движение абсолютно твердого тела можно представить в виде суммы двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае движение тела можно рассматривать как движение материальной точки.

Вращательное движение — движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела.

Изменение положения тела в пространстве при вращательном движении определяется углом поворота тела относительно некоторого начального положения.

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота тела по времениt:

Угловое ускорение εравно первой производной от угловой скорости тела по времениt:

Если материальная точка движется по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью , то ее угловые и линейные характеристики движения связаны соотношениями:

Частные случаи вращательного движения.

• Равномерное вращение:

угловая скорость ;

угловое ускорение ε = 0;

угол поворота изменяется по закону: .

• Равнопеременное вращение:

угловое ускорение ;

угловая скорость и угол поворота изменяются по законам:

.

Знак + соответствует равноускоренному, а знак ─ — равнозамедленному вращению; —угловая скорость тела в момент времени = 0.

Период вращения — время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения — число оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Связь между периодом, частотой и угловой скоростью:

,

Динамика материальной точки

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

где — равнодействующая сила, действующая на материальную точку;— импульс,— масса,— скорость материальной точки.

Если масса тела постоянна, то

,

где — ускорение, приобретаемое телом массойпод действием силы.

Закон Гука:

F_упр = ─ kx,

где F_упр — сила упругости;k— коэффициент упругости или жесткость пружины;x— изменение длины пружины. Знак─означает, что сила упругости направлена против изменения длины пружины.

Закон трения скольжения:

где F_тр — сила трения скольжения;– сила реакции опоры;– коэффициент трения скольжения.

Сила тяжести:

где m— масса тела;– ускорение свободного падения.

Изменение импульса тела равно импульсу приложенных к нему сил:

Закон сохранения импульса: в изолированной системе векторная сумма импульсов входящих в нее тел остается постоянной:

2. Примеры решения задач

1. Координата материальной точки меняется по закону: Найти перемещение, путь и среднюю скорость движения материальной точки за времяt= 2cпосле начала движения. Построить график зависимости координаты от времени.A = 1 м; ω = π рад/с.

Решение:

График зависимости координаты от времениtимеет вид:

Рис. 1

Величина перемещения материальной точки вдоль оси равна:

.

где — координата точки в начальный момент времени, а— в момент времениt= 2c. Отсюда находим величину перемещения:

.

Траекторией движения точки является отрезок прямой от –1 м до +1 м. Этот отрезок точка, как видно из графика (рис. 1), за время t= 2cпроходит дважды. Следовательно, путьравен:

Средняя скорость движения по определению равна:

Здесь ΔS = SΔt = t.

Поэтому:

Ответ:

2. Камень брошен горизонтально с начальной скоростью относительно поверхности земли. Найти уравнение траектории движения камня и радиус кривизны траектории в момент времениt.

Решение:

Движение камня рассматриваем в системе отсчета, связанной с землей. Вдоль оси камень по условию задачи движется равномерно со скоростью. Поэтому координата меняется по закону:

(1)

Вдоль оси камень падает с постоянным ускорением, равным ускорению свободного паденияg. Поэтому скорость камня вдоль осиравнаgt, а координатаменяется по закону:

(2)

Рис. 2

Из уравнения (1) получаем: .

Подставив формулу (2), получим уравнение траектории движения камня:

Радиус кривизны Rтраектории находим из определения нормального ускорения:

,

где — полная скорость камня, равная

Отсюда получаем радиус кривизны траектории:

. (3)

Нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно вектору полной скорости камня. С другой стороны, нормальное ускорение является составляющей полного ускорения, которое в данной задаче равноg. Из рис. 2 следует, что

, а. (4)

Поэтому .

Подставив (4) в (3), получаем:

,

или

.

Ответ: ,.

2. Пушка стреляет под углом к горизонту. Начальная скорость снаряда равна. Найти максимальную высоту и дальность полета снаряда. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль осей координати(см. рис. 3):(1)

Рис.3

Движение снаряда вдоль оси является равнопеременным, поэтому:

, (2)

(3)

Снаряд поднимается вверх, пока вертикальная составляющая его скорости не станет равна нулю. Из уравнения (3) находим время подъема:

(4)

Подставив (4) в (2), находим максимальную высоту подъема :

(5)

Снаряд, достигнув максимальной высоты подъема, опускается с ускорением свободного падения. Очевидно, что в этом случае:

,

где — время падения снаряда.

Учитывая (4) и (5), получаем, что время падения снаряда равно времени его подъема. Полное время полета снаряда равно:

(6)

За это время снаряд пролетит по горизонтали расстояние:

. (7)

Подставив (1) в формулы (5), (6), (7), находим высоту и дальность полета снаряда:

Ответ:

4. Вал токарного станка за 2 с приобретает угловую скорость ω = 628 рад/с. Считая вращение тела равноускоренным, найти угловое ускорение и число оборотов вала за это время.

Решение:

Дано:

При равнопеременном вращении угол поворота тела и его угловая скорость меняются по закону:

Из последнего соотношения: находим угловое ускорение: