2. Механическая работа, мощность и энергия

2.1. При поступательном движении элементарная работа dA силы при элементарном перемещении на равна скалярному произведению:

.

При конечном перемещении тела из точки (1) в точку (2) механическая работа:

.

В частном случае ,, получаем

,

где S₁₂ — путь, пройденный под действием силы .

При вращательном движении: ,

где M— момент сил; dφ— элементарный поворот тела.

В частном случае M = const:

2.2. Мощность N— скорость совершения работы.

Для поступательного движения:

,

где v— скорость тела; α — угол между векторами силы и скорости.

Для вращательного движения:

,

где ω— угловая скорость.

2.3. Энергия — способность тела совершать работу.

Кинетическая энергия E_к — энергия, связанная с движением тел.

Для поступательного движения:

,

где ь— масса; v— скорость тела.

Для вращательного движения ,

где I— момент инерции; ω— угловая скорость тела.

2.4. Потенциальная энергия Е_п — энергия, связанная с взаимодействием тел.

Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли:

,

где g — ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упругой деформированной пружины

,

где k — коэффициент жесткости; Δx — удлинение (сжатие) пружины.

2.5. Теорема об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела равно работеA равнодействующей силы:

.

2.6. Работа потенциальных сил при перемещении материальной точки равна убыли ее потенциальной энергии:

7. Закон сохранения механической энергии.

Если в замкнутой системе действуют только потенциальные силы, то

Примеры решения задач

1. Маховик, имеющий форму диска массой m = 5 кг и радиусом R = 0,2 м, свободно вращается с частотой n = 720 об/мин. При торможении маховик движется равнозамедленно и полностью останавливается через t = 20 с. Определить тормозящий момент М и число оборотов маховика N до полной остановки.

Дано: кг, м, с^–1 , с.

Определить: M,N.

РЕШЕНИЕ

Определим момент силы трения M.

Торможение маховика происходит под действием момента сил трения M (рис.1). По основному закону динамики вращательного движения

. (1)

Момент инерции диска

(2)

В нашем случае при равнозамедленном вращении угловая скорость меняется по закону: , где

(3)

Подставляя (2) и (З) в (1), получаем:

Нּм.

Знак (–) указывает, что угловое ускорение и момент силы трения направлены против начальной угловой скорости.

Определим число оборотов N. При равнозамедленном движении угол поворота маховика до остановки:

.

Учитывая (3) и то, что , получаем:

.

.

Ответ: M = 0.38 Нּм: N = 120 оборотов.

2. Диск радиусом м и массой кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой об/мин. В центре диска стоит человек массой кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край диска? Человека считать материальной точкой.

Дано: м, кг, кг, с^–1 .

Определить: .

РЕШЕНИЕ

По закону сохранения момента импульса

, (1)

где — момент инерции диска; и — моменты инерции человека в центре и на краю диска, соответственно; и угловые скорости диска с человеком, стоящим в центре и на краю диска, соответственно (см. рис. 2). Связь линейной и угловой скорости

. (2)

Выразив из уравнения (1) и подставив его в формулу (2), получим

.

Момент инерции диска равен

.

Момент инерции материальной точки (человека) равен

,

Угловая скорость диска до перехода человека

Подставив в (3) выражения для ,,и, получим

.

Численный расчет

(м/с).

Ответ: м/с.

3. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы кг и кг. Масса блока кг . Считая блок однородным диском, найти линейное ускорение системы .

Дано: кг, кг, кг .

Определить: .

РЕШЕНИЕ

Расставим действующие на тела силы и моменты сил (рис.3).

На первое тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити . На второе тело, аналогично, и .

На блок действуют момент силы :

,

и момент силы :

,

где — радиус блока.

После расстановки сил и их моментов к каждому телу можно применить основное уравнение динамики. Для первого тела в проекциях на направление движения:

, (1)

для второго тела

, (2)

для блока

или .(3)

Решаем уравнения (1), (2) и (З) совместно относительно , учитывая, что :

.

Численный расчет м/с².

Ответ: м/с².

4. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью м/с. Масса велосипедиста вместе с велосипедом , причем на колеса приходится масса кг. Колеса велосипеда считать обручами.

Дано: , кг, м/с.

Определить: .

РЕШЕНИЕ

Движение твердого тела можно представить, как поступательное движение центра инерции с кинетической энергией и вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр инерции, с кинетической энергией . В нашем случае вращаются только колеса, поэтому

Связь линейной и угловой скоростей

,

где R — радиус колеса. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр

Подставляя это выражение в (1), получаем

Численный расчет: (Дж).

Ответ: Дж.

5. По ободу шкива, насаженного на общую ось с колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой . На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом вращалось с частотой об/мин? Момент инерции колеса кгּм², радиус шкива м.

Дано: , с^–1, кгּм², м.

Определить: h.

РЕШЕНИЕ

В начальный момент система обладала только потенциальной энергией (рис.4). Когда груз, опустился на высоту h, энергия системы складывается из кинетической энергии вращения колеса и кинетической энергии груза .

Если пренебречь силами трения, то в системе выполняется закон сохранения механической энергии

Учитывая связь линейной и угловой скоростей:

,

получаем: .

Отсюда: .

Численный расчет:

(м).

Ответ: h = 0,86 м.

6. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту , масса диска m.

Дано: m, α.

Определить: .

РЕШЕНИЕ

На тело действуют три силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения (рис.5), но только сила трения имеет отличный от нуля момент относительно оси вращения O. При отсутствии диск соскальзывал бы с наклонной плоскости, не вращаясь.

Основной закон динамики (для поступательного движения) в проекциях на ось X будет

(1)

Для вращательного движения диска

Учитывая, что получаем .

Для диска :,

поэтому: . (2)

Решая (1) и (2) совместно, получаем:

.

Ответ: .

7. Какую работу совершает человек, поднимая тело массой m на высоту h с ускорением ?

РЕШЕНИЕ

Дано:m,h.g.

Определить: A.

Работа при прямолинейном движении под действием постоянной силы:

В нашем случае ,,(рис. 6).

По второму закону Ньютона (в проекциях на направлении ускорения)^

.

Таким образом,

и .

Ответ: .

8. Найти работу A, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m от до на пути . На всем пути действует сила трения .

Дано: ,,,.

Определить: A.

РЕШЕНИЕ

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело (рис. 7):

.

На тело действует две силы: сила тяги, совершающая положительную работу A, и сила трения, совершающая отрицательную работу , поэтому:

.

Отсюда : .

Ответ: .

9. Найти скорость вылета пули массой m из пружинного пистолета при выстреле вверх, если жесткость пружины k, а сжатие . На какую высоту h поднимется пуля ?

Дано:, m, k, x.

Определить: v, h.

РЕШЕНИЕ

До выстрела энергия была сосредоточена в сжатой пружине (рис. 8)

Так как диссипативных взаимодействий нет, то по закону сохранения полной механической энергии в момент вылета пули из пистолета ее энергия складывается из потенциальной энергии гравитационного взаимодействия и кинетической энергии пули :

,

отсюда .

В высшей точке подъема , поэтому .

Таким образом, .

Ответ: , .

10. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули , масса шара , скорость пули . При каком наибольшем расстоянии от центра шара до точки подвеса шар поднимется до верхней точки окружности?

Дано: , ,.

Определить: .

РЕШЕНИЕ

По закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия шара с пулей должна быть равна их потенциальной энергии в точке максимального подъема (рис. 9):

(1)

При неупругом соударении пули с шаром выполняется только закон сохранения импульса:

.

Отсюда :

. (2)

Подставляя (2) в (1), получаем

Ответ: .