Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику
.pdfСвязь количества нейтронов в реакторе и реактивности (1.42а) называют формулой обратного умножения.
Физический смысл соотношений (1.42) в том, что в подкритическом реакторе количество нейтронов обратно пропорционально модулю реактивности. Эту закономерность используют при контроле состояния подкритических систем. Скорость счета импульсов детектора Nд, регистрирующего нейтроны и расположенного в активной зоне реактора или рядом с ней, будет (при определенных условиях) обратно пропорциональна реактивности размножающей системы:
Nд = const/ρ. |
(1.42а) |
«Определенные условия» – число импульсов детектора, пропорциональное полному количеству делений в реакторе. Это реализуется в тех случаях, когда допустимо рассматривать реактор безразмерным, например, как физическую точку, или при реактивности реактора близкой к нулю.
Формула обратного умножения используется для нахождения экстраполяционного значения неизвестной критической массы из так называемой экстраполяционной кривой. Построение экстраполяционной кривой осуществляется следующим образом. До загрузки первой порции топливных сборок в реактор измеряют скорость счета детектора (пусть она обозначается Nd0), а затем по одной из осей по мере загрузки топливных сборок откладывают Nd0/Ndi, а по другой оси – общее количество топливных сборок после i-той загрузки. Совершенно ясно, что при стремлении kэфф к единице, т.е. при увеличении количества топливных сборок в активной зоне реактора, отношение Nd0/Ndi стремится к нулю.
На рис. 1.3 показан реальный ход зависимости отношения Nd0/Ndi от количества загруженных в реактор топливных сборок при наборе критической массы реактора БН-600. Показаны две зависимости: 1 – при всех поглощающих стержнях, находящихся в реакторе, 2 – при всех поглощающих стержнях, извлеченных из реактора. Вблизи kэфф = 1 отрезок экстраполяционной кривой оказывается линейным и позволяет уверенно находить экстраполированное значение критической массы (в данном случае числа топливных сборок).
Используя формулу обратного умножения, можно найти подкритическое состояние реактора, если известна реактивность како-
41
го-либо его предыдущего состояния. Действительно, если при ка- кой-то вполне определенной конфигурации активной зоны скорость счета детектора была N1, то N1=–Λq/ρ1. Соответственно, при другой конфигурации активной зоны будет другая реактивность ρ2 и, следовательно, другая скорость счета детектора N2, поэтому
N1/N2=ρ2/ρ1.
Рис. 1.3. Нормированная обратная скорость счета детектора
взависимости от количества тепловыделяющих сборок, загруженных
вреактор БН-600 (данные получены при наборе критической массы
реактора):
1 – все поглощающие стержни находятся в реакторе;
2 – все поглощающие стержни извлечены из реактора
1.6.2. Решение уравнений кинетики без учета запаздывающих нейтронов (разгон на мгновенных нейтронах)
Рассмотрим случай, когда dn/dt положительно и очень велико. Именно при этих условиях можно считать, что запаздывающие нейтроны не успевают внести свой вклад в развитие цепной реакции. Формально это условие можно реализовать, положив λi = 0.
В этом случае уравнение кинетики имеет следующий вид |
|
||||
|
dn |
= |
ρ−βэфф |
n . |
(1.43) |
|
dt |
Λ |
|||
|
|
|
|
||
Источник нейтронов также не принят во внимание, полагая, что роль источника нейтронов сводится к формированию начального уровня мощности. В этих приближениях решение имеет вид
42
ρ−β |
эфф |
|
|
|
n(t) = n(0)exp |
|
t . |
(1.44) |
|
Λ |
|
|||
|
|
|
|
|
Оказывается, что запаздывающими нейтронами можно пренебречь, если вводится реактивность ρ > βэфф. При этом период реактора Те оказывается малым и по порядку величины определяется
временем генерации мгновенных нейтронов: |
|
||
T = |
Λ |
. |
(1.45) |
|
|||
e |
ρ−βэфф |
|
|
Поэтому экспоненциальный рост мощности реактора при ρ ≥ βэфф обычно называют «разгоном мощности на мгновенных нейтронах».
Здесь уместно задать вопрос: а возможно ли управление цепной
реакцией, если нет запаздывающих нейтронов, т. е. βэфф = 0? |
|
||||||||||||||
В этом случае исходное уравнение имело бы вид |
|
|
|||||||||||||
|
|
dn |
|
= |
ρn |
+ q . |
|
|
|
|
|
|
(1.46) |
||
|
|
dt |
|
Λ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение этого уравнения легко получить: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n(t) = n(0)exp ρt |
|
+ qΛ exp ρt |
|
−1 |
/ ρ. |
(1.47) |
|||||||||
|
Λ |
|
|
|
Λ |
|
|
|
|
|
|||||
Перепишем это соотношение в более удобном виде |
|
||||||||||||||
|
|
|
qΛ |
|
ρt |
|
qΛ |
|
|
|
|||||
n(t) = n(0) |
+ |
|
|
|
exp |
|
− |
|
|
|
. |
|
(1.48) |
||
|
ρ |
|
ρ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Λ |
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что управление таким реактором было бы чрезвычайно сложным в техническом отношении. Действительно, среднее время жизни нейтронов в водо-водяных и графитовых реакторах не превышает 10-3÷10-4 с. Поэтому даже в таких «медленных» реакто-
рах при ρ = 10-4 k/kэфф мощность увеличивалась бы за 1с при Λ=10-4 в 2,7 раза. Для управления таким реактором потребовалось бы вво-
дить контролируемые изменения реактивности не более 10-5 k/kэфф. Технически это осуществить возможно, но в энергетическом реакторе при нормальных режимах работы флуктуации реактивности
лежат на уровне (10-5÷10-6) k/kэфф. Например, вполне возможны быстрые изменения температуры на десятые доли градуса, а это
значит, что «уследить» с помощью механических средств за таким реактором не представляется возможным.
43
В заключение отметим, что рассматриваемое приближение уравнения кинетики без учета запаздывающих нейтронов в виде (1.44) можно использовать при анализе поведения мощности реактора при быстром вводе реактивности, превышающей βэфф.
1.6.3. Решение уравнений кинетики в приближении одной эффективной группы запаздывающих нейтронов
Для качественного анализа временного поведения реактора рассмотрим уравнение кинетики в приближении одной группы запаздывающих нейтронов, т.е. будем считать, что все нейтроны имеют одну постоянную распада λ. Такой приближенный анализ дает качественно те же результаты, что и решение с шестью группами запаздывающих нейтронов, а в определенных случаях – даже близкие и количественные результаты. Кроме того, приближение одной группы запаздывающих нейтронов используют при аналитическом решении динамических задач, и этот подход оказывается весьма эффективным. Наконец, уравнение кинетики в приближении одной группы запаздывающих нейтронов имеет наглядное аналитическое решение. Запишем уравнения кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов:
dn |
= |
(ρ−βэфф )n |
+λс+ q, |
dс |
= |
βэффn |
−λс . |
(1.49) |
|
dt |
ΛΛ |
dt |
Λ |
||||||
|
|
|
|
|
Решим эту систему дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа (основные соотношения преобразований Лапласа даны в приложении 1). После преобразования система
уравнений записывается следующим образом: |
|
|
||||
sn(s) − n(0) = |
(ρ−βэфф )n(s) |
+λс(s) + |
q |
, |
||
Λ |
|
s |
||||
|
βэффn(s) |
|
(1.50) |
|||
sc(s) −c(0) = −λс(s) + |
. |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
Λ |
|
|
|
Исключим из первого уравнения системы с(s) (изображение функции c(t)) и найдем n(s) (изображение функции n(t)):
n(s) = |
n(0)s2 |
+ s{λ[n(0) + c(0)]+ q} + λq |
. |
(1.51) |
||||
s{s |
2 |
|
|
|
−λρ/ Λ} |
|||
|
|
|
|
|||||
|
+ s λ −(ρ−βэфф ) / Λ |
|
|
|||||
44
Квадратные скобки знаменателя ни что иное как полином второго порядка, который можно представить в виде (s – ω1)(s – ω2), где ω1 и ω2 – корни квадратного уравнения знаменателя (1.51). Приравняв знаменатель нулю, находим корни квадратного уравнения:
|
λΛ −ρ+β |
|
|
|
|
4λΛρ |
|
0,5 |
|
|
ω = − |
|
|
|
|
|
(1.52) |
||||
|
эфф |
1 |
± 1 |
+ |
|
|
|
. |
||
2Λ |
|
(λΛ −ρ+βэфф )2 |
|
|||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция n(s) может быть представлена в виде следующей суммы:
n(s)/n(0) = s/(s–ω1)(s–ω2) + {λ[n(0)+c(0)]+q}/[(s–ω1)(s–ω2)] +
+ λq/[s(s–ω1)(s–ω2)]. (1.53)
В приложении 1 даны формулы для обратного преобразования, применяя которые, получаем явный вид искомой функции n(t) (при этом исключили с(0), на основе соотношения c(0) = βэффn(0)/(λΛ), которое следует из (1.49) при стационарных начальных условиях):
|
|
|
|
|
βэфф |
|
|
|
|
q |
|
|
|
λq |
|
|
|
||
n(t) / n(0) = ω1 |
+λ + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
exp(ω1t) / (ω1 −ω2 ) + |
|
|||
|
|
Λ |
|
n(0) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(0)ω1 |
|
||||||||
|
|
βэфф |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
λq |
|
|
|
|
|
||
+ ω2 |
+λ + |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
exp(ω2t) / (ω2 −ω1 ) + |
(1.54) |
||||
Λ |
|
n(0) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n(0)ω2 |
|
|
|
|||||||||
+λq[1 |
+{ω2 expω1t −ω1 expω2t} / (ω1 |
−ω2 ) / (n(0)ω1ω2 ). |
|
||||||||||||||||
Для корней уравнения ω1 и ω2 при условии βэфф – ρ >> λΛ > 0 можно использовать приближенные формулы:
ω1 |
≈ −(λΛ +βэфф −ρ) / Λ ≈ −(βэфф −ρ) / Λ, |
(1.55) |
|
ω2 |
≈ λρ/ (λΛ +βэфф −ρ) ≈ λρ/ (βэфф −ρ). |
||
|
При условии ρ – βэфф >> λΛ > 0 приближенные формулы для
вычисления корней имеют вид: |
|
|
ω1 ≈ –λρ/(ρ–βэфф), |
ω2 ≈ (ρ – βэфф)/Λ. |
(1.55, а) |
Если же реактивность близка |
к βэфф, т.е. ρ–βэфф << λΛ, и |
|
λΛ/4β << 1, то из (1.52) следует |
|
|
ω1,2 = ±(λβэфф/Λ)1/2 . |
(1.56) |
|
Итак, получено аналитическое решение уравнений кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов, которое можно представить в виде n(t) = Аexp(ω1t) + Bexp(ω2t) + C. Это решение справедливо, если известны начальные условия, т.е. n(0) и с(0), и в момент t = 0 происходит скачкообразное изменение реактивности и/или активности источника, или количества нейтронов в реакторе.
45
И это понятно, поскольку при получении (1.50) и реактивность, и источник нейтронов предполагались постоянными величинами.
Еще один полезный результат из полученного решения – связь между реактивностью и собственными числами ω1 и ω2 или между реактивностью и периодом увеличения (уменьшения) мощности реактора в соответствии с (1.52), (1.55) и (1.56).
Связь между реактивностью и корнями ω1,2 можно представить в более общем виде. Приравняем знаменатель (1.51) нулю и разрешим его относительно ρ. Тогда получим явную связь между ρ и s,
справедливую при s = ω1,2: |
|
ρ = sΛ + sβэфф/(λ + s). |
(1.57) |
Это соотношение при s = ω2 дает возможность найти реактивность по асимптотическому периоду роста мощности реактора, т.е. это – формула обратных часов при одной группе запаздывающих нейтронов (сравните с (1.18)).
Проанализируем, как связаны ω1 и ω2 с реактивностью. Прежде всего, отметим, что при βэфф – ρ >> λΛ в соответствии с (1.55) корень ω1 связан со временем жизни мгновенных нейтронов, а корень ω2 – со средним временем жизни запаздывающих нейтронов. Поэтому почти во всей области значений реактивности |ω1| >> |ω2|, кроме значений ρ/βэфф = 1 + λΛ/βэфф ± ε. В указанной узкой области значений ρ/βэфф (ε по порядку величин равно λΛ/βэфф) корни близки по своей величине |ω1| = |ω2|, но имеют разные знаки (см. (1.56)).
Из рассмотрения значений корней (1.55) следует, если ρ < 0, то ω1 < 0 и ω2 < 0. Это означает, что все переходные процессы в реакторе затухают после изменения реактивности до значения ρ/βэфф < 0, и устанавливается асимптотический во времени спад мощности (количества нейтронов) реактора с показателем экспоненты ω2.
Если 0 < ρ < βэфф, то ω1 < 0 и ω2 > 0. Это означает, что происходит рост мощности, который в конце концов происходит по экспо-
ненциальному закону с показателем ω2.
Если ρ > βэфф, то в соответствии с (1.55а) знаки корней не изменяются и по-прежнему ω1 < 0 и ω2 > 0. Но при этих условиях значение корня ω2 связано со временем жизни мгновенных нейтронов и
|ω1|<< |ω2|.
46
На рис. 1.4 приведены зависимости ω1 и ω2 от реактивности для
Λ = 2·10-6 с, βэфф = 7·10-3, λ = 0,1 с-1. Эти исходные данные близки к аналогичным для реактора на быстрых нейтронах с урановым топ-
ливом.
Рис. 1.4. Зависимость корней ω1 и ω2 от реактивности ρ/βэфф для случая
одной группы запаздывающих нейтронов с λ = 0,1с-1 при Λ = 2 10-6с
и βэфф = 7 10-3
Отметим, что временное поведение n(t) зависит от выбранного среднего значения λ (см. (1.55) и (1.56)).
Найдем среднее значение λ для реактора при установившемся асимптотическом поведении во времени, т. е. при n(t) = n0exp(ω0t).
Запишем интегральную форму уравнения для предшественников запаздывающих нейтронов по отношению к принужденной составляющей, обусловленной n(t), применив преобразование Лапласа (см. приложение 1, пример 2) к дифференциальному уравнению для предшественников запаздывающих нейтронов (1.49):
ci (t) =βэффi Λ1 |
t |
|
∞∫exp[−λi (t −t′)]n(t′)dt′. |
(1.58) |
Подставим в это уравнение асимптотическое изменение во времени количества нейтронов в реакторе, т.е. n0exp(ω0t) и после интегрирования получаем
47
ci (t) = |
βэффi |
|
n0 exp(ω0t). |
(1.58.1) |
Λ(ω +λ |
) |
|||
|
0 i |
|
|
|
Отсюда следует, что ci(t)/n(t) = βэффi /Λ(ω0+ λi) или
с(t)/n(t) = Σβэффi /Λ(ω0+ λi).
При изменении во времени количества нейтронов в реакторе по экспоненциальному закону отношение количества предшественников запаздывающих нейтронов к количеству нейтронов зависит от ω0, т.е. от реактивности реактора. В частном случае, в стационар-
ном состоянии реактора, это отношение равно Σβэффi/Λλi и в одногрупповом представлении запаздывающих нейтронов c/n = β/λΛ.
Воспользуемся определением среднего и находим
λ = |
∑λi ci |
= |
∑λiβi / (ω0 + λi ) |
(1.58.2) |
|
i |
i |
||||
|
|
. |
|||
∑ci |
∑βi / (ω0 + λi ) |
||||
ii
Встационарном состоянии ω0 = 0 или при медленном изменении мощности ω0 < λmin (≈ 0,012 c-1), что соответствует времени удвоения мощности более 60 с:
λ = |
∑βi |
= |
1 |
|
, |
(1.58.3) |
|
i |
|
|
|||||
∑βi |
/ λi |
∑ai |
/ λi |
||||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
где аi = βэффi/βэфф. |
|
|
|
235U |
тепловыми |
нейтронами |
|
В частности, при делении |
ядер |
||||||
λ = 0,0787 c-1. |
|
|
|
|
|
|
|
Если же |ω0| >> λi (это возможно при ρ, близком к βэфф), то |
|||||||
|
|
λ = ∑aiλi . |
|
|
(1.58.4) |
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
В таком случае (в частности, при делении ядер 235U) λ = 0,398 c-1, т.е. приблизительно в пять раз больше в сравнении со средним значением λ в стационарном состоянии реактора.
Полученные соотношения позволяют записать отношение количества предшественников запаздывающих нейтронов к количеству нейтронов в реакторе в общем случае:
48
c(t) / n(t) = Σci |
(t) / n(t) = Σ |
βэффi |
|
. |
(1.58.5) |
||
Λ(ω0 |
+ λi |
) |
|||||
|
|
|
|
||||
В стационарном состоянии (ω0 = 0) это отношение равно Σβэффi/(λiΛ) и в случае одной группы запаздывающих нейтронов – β/(λΛ). При росте мощности отношение c/n уменьшается (ω0 > 0), а при снижении мощности увеличивается (ω0 < 0).
Приведенные примеры показывают, что среднее значение λ при одногрупповом представлении уравнений кинетики существенно зависит от состояния реактора. Поэтому решение уравнений кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов не может в общем случае дать правильные количественные результаты, но позволяет получить качественное представление о поведении реактора при различных возмущениях. Отличие от более правильного решения, при котором используются несколько групп запаздывающих нейтронов, будет менее существенным при малых значениях реактивности. На рис. 1.5 сравниваются зависимости n(t)/n(0), полученные в приближениях одной и шести групп запаздывающих нейтронов.
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ=0,4 |
n(t |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мошность |
6 |
|
|
|
6 групп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 группа |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ=0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ=0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
|
|
|
|
Время t, |
с |
|
|
|
|
|
Рис. 1.5. |
Относительные изменения количества нейтронов в реакторе n(t)/n0, |
||||||||||
обусловленные мгновенным вводом реактивности в критический реактор |
|||||||||||
при q = 0, Λ = 10-3 с, |
β = 0,64·10-2, вычисленные в приближениях одной и шести |
||||||||||
|
|
|
|
групп запаздывающих нейтронов |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
Решение уравнения (1.54) позволяет получить зависимость n(t) после того, как в реакторе, находившемся в стационарном состоянии, происходит скачкообразное изменение какого-либо интегрального параметра – реактивности, числа нейтронов в реакторе, интенсивности источника. При решении такого рода задач полезно использовать приближенный вид (1.54), принимая во внимание, что во многих случаях справедливы следующие неравенства:
ω1 >> ω2 ; λΛ<< β –ρ .
Рассмотрим поведение критического реактора без внешнего источника нейтронов. В этом случае ρ = 0 и q = 0. В момент времени t = 0 в реактор вносится реактивность 0,5 βэфф. Поскольку до внесения реактивности реактор был в стационарном состоянии, то из уравнения (1.2) при dn/dt = 0 и dci/dt = 0 следует (см. также (1.58.5))
с(0) = n(0)βэфф / λΛ .
С учетом начальных условий получаем следующее решение n(t) = −n(0)ρexp(ω1t) / (βэфф −ρ) + n(0)βэфф exp(ω2t) / (βэфф −ρ). (1.59)
Из (1.59) следует, что за достаточно малое время порядка t*~
(3÷4)/ω1 количество нейтронов в реакторе достигает уровня |
|
n(t*) ≈ n(0) / (1−ρ / βэфф ) , |
(1.60) |
который сохраняется практически постоянным в течение времени
~0,05/ ω2 .
В дальнейшем происходит либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад количества нейтронов в реакторе (мощно-
сти) в зависимости от знака ρ: |
|
n(t) = n(0)βэфф exp(ω2t) / (βэфф −ρ) при t > t *. |
(1.61) |
Поведение количества нейтронов в реакторе (мощности) при скачкообразном изменении реактивности показано на рис. 1.6 для
ρ = ±0,5βэфф. Верхние части графиков показывают изменение
N(t)/N0 при 0 ≤ t ≤10-2 с.
Мы рассмотрели временное поведение количества нейтронов в реакторе без источника нейтронов при изменениях реактивности. При наличии источника нейтронов и введении отрицательной реактивности количество нейтронов в реакторе будет спадать до уровня, который определяется формулой обратного умножения, т.е. до уровня qΛ/ ρ .
50