2-й семестр / Методичка Дзержинский

когда выполняется ƍ Предложение ≡ формула

Теорема (Лёвенгейм, Сколем) : для каждого предложения ƍ логики предикатов мы можем построить универсальное предложение ƍ* такое, что ƍ выполняется тогда и только тогда, когда ƍ *выполнимо.

Алгоритм построения универсальной ƍ*

Шаг 1 Построить ПНФ предложения ƍ

Шаг 2 Последовательно (слева направо) вычёркиваем каждый квантор существования (у), заменяя все вхождения переменной у на новый, ещё не использованный функциональный символ f, в качестве аргументов f берём все переменные, связанные предшествующим ( у) кванторами всеобщности. Функциональный символ f называется Сколемовскмй функцией

Предложение ƍ*, полученное после выполнения алгоритма называется Сколемовской нормалной формой СНФ

Пример ƍ

(х) (у)( z) (ϑ) P(x,y,z,ϑ) находим в ПНФ

Вычёркиваем (ϑ) и заменяем на ϑ на Сколемовскую функцию g(x,z), так как кванторы А(х) А(z) предшествовали кванторы (ϑ). В итоге получим

(х) ( z) Р(х, f(x), z, g(x,y))

Если первым квантором предложение будет квантор существования, например

( у) ( х) ( z) ψ(x,y,z) то следовательно f не зависит ни от одной переменной и функция f превращается в константу c то есть

ƍ*: А(х) А(z) ψ(x,с,z)

Метод семантических таблиц в логике предикатов

В логике предикатов, как и в логике высказываний существуют различные методы определения выполнимости предложения. Примером такого метода может служить Метод семантических таблиц. Будем рассматривать этот метод для собственного подмножества логики предикатов, не содержащего

41

функциональных символов – так называемой узкой логики предикатов.

Семантические таблицы для логики предикатов получаются из соответствующих таблиц для логики высказываний путём добавления правил для кванторов: с помощью сематической таблицы

t ( (х)ƍ(x))

t ƍ(c) для всех с

Мы представляем факт “для истинности формулы хƍ(x) необходимо, чтобы ƍ(x) было истинным для всех констант С”

Семантическая таблица

t ((х)ƍ(x))

t ƍ(c) для новой с

Представляет факт “для истинности формулы хƍ(x) необходимо чтобы существовала константа с, которая ещё не появлялась в таблице, что ƍ(с) принимает истинное значение”

К атомарным таблицам для логики высказываний надо добавить ещё две для кванторов

Сематическая таблица для t ( (х)ƍ(x)) (или для f ((х)ƍ(x)) позволяет нам объявлять формулу ƍ(с) истинной или ложной для всех констант с. А Сематическая таблица для t (( х)ƍ(x)) (или для f( (х)ƍ(x)) позволяет нам объявлять формулу ƍ(с) истинной (или ложной) только для тех констант, которые ещё не встречались в сематической таблице.

42

Для сематических таблиц логики предикатов справедливы те же определения и утверждения что и для сематических таблиц логики высказываний

Метод резолюции в логике предикатов

Определение: литералом называется произвольный атом или его отрицание

Определение: дизъюнктом называется выражение вида х1х2,...,хk(C1vC2V…Cn)

Где Ci, i=1,…,n литералы x1,…,xk – все переменные встречающиеся в Ci, i=1,…,n.

Если ни одного литерала нет, то это будем наз пустым дизъюнктом и обозначать □.

Дизъюнкт может быть представлен в одном из следующих видов

1)х1...хk(A1v…vAm v ┐B1 v… v ┐ Be)

2)х1...хk ((A1v…vAm) ← (B1 ^…^Be))

3)х1...хk (A1v…vAm ← B1 ^…^Be)

4)х1...хk (A1,…,Am ← B1,…,Be)

5){C1,C2,…,Cn}- теоретико-множественное представление, где

Ci=Ai i=1,…,m

Cj+m=┐Bj j=1,…,e

6){A1,…,Am, ┐B1,…,┐Be}

7)A1,…,Am← B1,…,Be

Каждый дизъюнкт является предложением, а вот обратное – неверно. Но каждое предложение можно привести к СНФ.

Следующие выражения являются дизъюнктами.

хyz(P(x,y) v ┐Q(y,z) v ┐R(x,y,z)

хy (P(x, f(y)) v (┐Q(x,y)

Определение: Предложение, полученное из дизъюнкта ƍ путём удаления кванторов и подстановки вместо всех переменных констант, называется основным примером ƍ.

43

Определение: Хорновским дизъюнктом называется дизъюнкт вида

х1,…,xk(A ← B1,…,Be)

Где А, В1,…,Be – атомы и e ≥ 1. Атомы Bi , i=1,…,e называются предпосылками хорновского дизъюнкта, а А – заключением

Определение: Целевым утверждением или целью называется хорновский дизъюнкт, не содержащий заключения:

x1,…,xk( ← B1,…,Be)

Тогда Bi называются подцелями данной цели

Определение Фактом называется хорновский дизъюнкт, не содержащий ни одной предпосылки,

x1,…,xk( А← )

Для каждой формулы ƍ логики предикатов с множеством свободных переменных х1,...,хk мы имеем ( т е справедливо выражение, что)

ⱶ ƍ ↔ ⱶ x1,…,xkƍ

Таким образом мы можем изучать предложение x1,…, xkƍ вместо формулы ƍ

Поскольку переменные во всех дизъюнктах считаются связанными кванторами всеобщности мы можем переименовать эти переменные, чтобы применять операцию резолюции для получения резольвенты двух дизъюнктов. Такое переименование называется нормализацией переменных.

Рассмотрим пример:

Пусть даны следующие дизъюнкты

C1 = { ┐P(x,y) , ┐ Q (y,z), R(x,z)} ≡ хyz (¬(P(x,y) v ¬(Q(y,z) v R(x,z) C2= { ┐R(U,ϑ, P(ϑ,U)} ≡ uϑ (¬(R(U,ϑ) v P(ϑ,U))

Чтобы привести операцию резолюции между этими дизъюнктами проведём нормализацию переменных, то есть переименование переменных в С2, применив к С2 подстановку {U/x, ϑ/z} получим дизъюнкт

С = {┐R(x,z), P(z,x)}

Резольвентой дизъюнкта С1 и С будет дизъюнкт

С3= {┐P(x,e), ┐Q(y,z), P(z,x)} который содержит все литералы, входящие в С1 и С кроме литералов R(x,z) и ┐ R(x,z)

44

Точно так же, как в логике высказываний, для множества дизъюнктов S в логике предикатов резолютивный вывод из S это конечная последовательность дизъюнктов C1,…,Cn, такая что для каждого

Ci (1≤i≤n) либо Ci ϵ S, либо Ci ϵ R ({Cj,Ck}) (1≤j , k≤i), где

R({Cj,Ck}) – множество резольвент Cj и Ck.

Справедливо следующее утверждение: Если предложение Ϭ логики предикатов выводимо методом резолюции из множества S предложений логики предикатов

S R Ϭ

То из множества {S} υ {┐Ϭ) выводим пустой дизъюнкт.

(Пустой дизъюнкт – это дизъюнкт, не содержащий ни одного литерала. Он никогда не выполним)

В логике предикатов также справедливо утверждение :

Пусть S-множество дизъюнктов и R*(S) – множество всех резольвент S. Если множество R*(S) содержит пустой дизъюнкт, то S- невыполнимо и наоборот, если s – невыполнимо, то множество R*(S) содержит пустой дизъюнкт.

45

Список литературы

1.Фамилия И.О. Название книги. – М.: Издательство, 2017. – 123 с.

2.Название книги / под ред. И.О. Фамилия. – М.: Издательство, 2017. – 123 с.

3.Фамилия И.О. Название статьи // Журнал. 2017. № 11. С. 51–57.

4.Фамилия И.О. Название диссертации: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.

–Томск, 2017. – 20 с.

5.Фамилия И.О. Моделирование процесса сканирования // Современная техника и технология: труды VII Междунар. научно-практ. конф. молодых ученых. – Томск, 2017. – Т. 1. С. 225–229

6.Ланьков А. Япония: страна и люди // www.lankov.oriental.ru

46

Учебное издание

Дзержинский Роман Игоревич Воронцов Александр Алексеевич

Математическая логика

и

теория алгоритмов

Учебное пособие

Компьютерная верстка, редактор, корректор или печатается в авторской редакции

Подписано в печать 01.03.2017. Формат 60×84 1/16. Физ. печ. л. 7,25. Тираж 100 экз. Изд. № 50. Заказ № 677.

Московский технологический университет (МИРЭА) 119454, Москва, пр. Вернадского, д. 78

47