Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3-й семестр / Зачёт - Вопросы

.docx
Скачиваний:
18
Добавлен:
25.12.2020
Размер:
43.08 Кб
Скачать

Вопросы по дисциплине «Численные методы»

Первый блок вопросов.

  1. Перечислите основные этапы исследования и математического моделирования явлений реального мира, раскройте их содержание. Охарактеризуйте взаимосвязь этапов исследования и математического моделирования явлений, укажите их связь с численными методами.

  2. Дайте определение численных методов, охарактеризуйте аналитические и приближенные методы. Перечислите основные источники погрешностей и раскройте их сущность.

  3. Перечислите основные этапы решения математических задач с применением ЭВМ, раскройте их содержание и взаимосвязь.

  4. Сформулируйте и поясните основные проблемы вычислительной математики. Сформулируйте общую постановку задачи вычисления, дайте определение корректной задачи, раскройте ее сущность.

  5. Охарактеризуйте понятие устойчивости решения задачи. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности, приведите примеры.

  6. Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата сложения чисел и , где и – их погрешности.

  7. Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата вычитания чисел и , где и – их погрешности.

  8. Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата умножения чисел и , где и – их погрешности.

  9. Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата деления чисел и , где и – их погрешности.

  10. Что является вершинами и дугами графа вычислительного процесса, значения каких параметров соответствуют его вершинам и дугам.

  11. Приведите примеры графов вычислительных процессов основных математических операций, опишите параметры дуг.

  12. Объясните принцип расчета общей погрешности результата выполнения вычислительных операций с помощью соответствующего графа вычислительного процесса, приведите пример.

  13. Дайте определение алгебраических и трансцендентных уравнений, приведите примеры. Дайте определение прямых и итерационных методов решения нелинейных уравнений, охарактеризуйте их отличия.

  14. Перечислите и объясните различия между методами приближения, интерполирования и аппроксимации функций.

  15. Из каких этапов состоит процесс численного решения нелинейных уравнений и каково их содержание? Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения на области определения соответствующей функции, приведите графические примеры.

  16. Сформулируйте теорему Вейерштрасса и укажите ее использование при приближении функций полиномами.

  17. Перечислите требования, предъявляемые к свойствам функций в медодах половинного деления, хорд, Ньютона, секущих и простых итераций.

  18. Объясните геометрический смысл определенного интеграла, дайте определение интегральной суммы, приведите примеры. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов и перечислите возможные причины ограниченности ее использования на практике.

  19. Какова задача методов интерполяции функций, дайте определение узлов интерполяции, интерполянта и интерполяционной сетки.

  20. В чем сущность и особенности среднеквадратичной аппроксимации функций? Поясните сущность метода наименьших квадратов, приведите геометрический пример.

Второй блок вопросов

  1. Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения в результате построения эквивалентного уравнения , приведите графические примеры.

  2. Объясните табличный подход к локализации корней нелинейного уравнения, приведите графические примеры.

  3. Перечислите основные этапы алгоритма аналитической локализации корней нелинейного уравнения и раскройте их сущность.

  4. Объясните основную идею численных методов определения приближенных корней нелинейных уравнений. Дайте определение сходимости итерационного процесса, приведите примеры различных видов сходимости.

  5. Раскройте сущность метода половинного деления и объясните условия прекращения итерационного процесса метода половинного деления.

  6. Приведите формулы расчета количества итераций, необходимого для достижения заданной точности в методе половинного деления. Докажите оптимальность половинного деления отрезка локализации корня.

  7. Раскройте сущность метода хорд, приведите пример.

  8. Раскройте сущность и условия применимости метода Ньютона. Объясните условия прекращения итерационного процесса метода Ньютона.

  9. Объясните принцип выбора начального приближения в методе Ньютона.

  10. Раскройте сущность модифицированного метода Ньютона.

  11. Объясните принцип приведения нелинейного уравнения к итерационной форме в методе простых итераций.

  12. Раскройте сущность комбинированного метода хорд и касательных. Опишите схему решения нелинейного уравнения комбинированным методом хорд и касательных.

  13. Раскройте сущность метода секущих, приведите пример. Объясните принцип выбора двух начальных приближений в методе секущих и его отличия от методов Ньютона и хорд.

  14. Поясните принцип разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.

  15. Поясните принцип построения полинома Ньютона.

  16. Поясните принцип построения полинома Лагранжа.

  17. Поясните сущность прямого метода интерполяции.

  18. Линейная, параболическая и кубическая модели метода наименьших квадратов, соответствующие системы нормальных уравнений Гаусса.

  19. Гиперболическая и показательная модели метода наименьших квадратов, соответствующие системы нормальных уравнений Гаусса.

  20. Степенная и логарифмическая модели метода наименьших квадратов, соответствующие системы нормальных уравнений Гаусса.

Третий блок вопросов

  1. Объясните геометрический смысл определенного интеграла, дайте определение интегральной суммы, приведите примеры.

  2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница и перечислите возможные причины ограниченности ее использования на практике.

  3. С чем связано появление погрешности вычисления интегралов в численных методах интегрирования?

  4. Приведите графический пример результатов аппроксимации таблично заданной функции. Запишите постановку задачи применения метода наименьших квадратов.

  5. Поясните принцип сокращения погрешности интегрирования, связанной с выбором метода аппроксимации подынтегральной функции.

  6. Поясните основную идею методов Ньютона-Котеса.

  7. Поясните основную идею методов сплайнов.

  8. Поясните основную идею методов наивысшей алгебраической точности.

  9. Поясните основную идею методов Монте-Карло.

  10. Перечислите два основные источника погрешности, возникающей при численном интегрировании, поясните ее зависимость от количества отрезков разбиения исходного отрезка интегрирования.

  11. Дайте определение узлов и шагов интегрирования, приведите примеры методов Ньютона-Котеса.

  12. Запишите формулу левых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.

  13. Запишите формулу правых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.

  14. Запишите формулу средних прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.

  15. Приведите геометрические примеры погрешности для методов левых, правых и средних прямоугольников.

  16. Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом первой степени.

  17. Запишите формулу трапеций для постоянного и переменного шагов интегрирования, приведите геометрический пример.

  18. Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом второй степени.

  19. Запишите формулу Симпсона для вычисления определенных интегралов.

  20. Объясните принцип определения значений коэффициентов полинома второй степени, используемого для замены подынтегральной функции.

  21. Объясните принцип оценки погрешностей методов Ньютона-Котеса.

  22. Дайте определение главного члена погрешности и порядка метода интегрирования, приведите примеры.

  23. Объясните принцип вычисления интеграла с заданной точностью.

  24. Дайте определение адаптивных алгоритмов и объясните принцип определения в них длины шага интегрирования.

  25. Объясните принцип вычисления определенных интегралов от разрывных функций, приведите геометрические примеры.

  26. Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с бесконечной границей интегрирования, приведите геометрический пример.

  27. Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с подынтегральной функцией, обращающейся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования, приведите геометрические примеры.

  28. Объясните принцип вычисления двойных интегралов по прямоугольной области интегрирования с помощью формул методов Ньютона-Котеса, приведите пример.

  29. Приведите геометрический пример разбиения прямоугольной области интегрирования для двойного интеграла, вычисляемого по формуле Симпсона.

  30. Поясните принцип выведения формулы Симпсона для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области интегрирования.

  31. Запишите формулу Люстерника для вычисления двойного интеграла по области нтегрирования, представляющей собой единичный круг, приведите геометрический пример.

  32. Изложите сущность применения методов Монте-Карло для вычисления двойных интегралов по произвольной области интегрирования, приведите геометрический пример.

  33. Какова идея вычисления определенного интеграла методами Монте-Карло?

  34. Объясните сущность первого варианта метода Монте-Карло.

  35. Объясните сущность второго варианта метода Монте-Карло.

  36. Объясните сущность третьего варианта метода Монте-Карло.

  37. В чем заключается особенность численного интегрирования с использованием полиномов различных степеней?

  38. Почему метод средних прямоугольников неприменим для численного интегрирования таблично заданных функций?

  39. Каковы преимущества формулы Симпсона по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются данные преимущества?

  40. Запишите формулу Симпсона для случаев деления исходного отрезка интегрирования на четное и произвольное количество частичных отрезков.

  41. Запишите оценки погрешностей различных методов Ньютона-Котеса, проведите их сравнение.

Соседние файлы в папке 3-й семестр