3-й семестр / Семинары / 07
.pdfПрактическое занятие 7
Ряд Тейлора Представление функций степенными рядами. Условие сходимости.
Разложение функций в ряд Тейлора. Приближенные вычисления значений функций и определенных интегралов.
Теоретический материал
1. Представление функций степенными рядами
Пусть ( ) – заданная функция (имеет производные всех порядков) в
некотором интервале с центром в точке |
. Тогда можно применить формулу |
||||||||
Тейлора: |
) |
( ) |
|
( )( |
) |
|
|
||
( |
|
|
|
||||||
( ) = ( ) + |
1! |
( − |
) + |
2! |
( − ) + + |
! |
|
( − |
) + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( ), |
где ( ) – остаточный член формулы Тейлора.
Таким образом функция может быть разложена в ряд Тейлора, если:
а) она имеет производные всех порядков;
|
некоторого значения |
|
( ) = |
! |
при( |
− |
) . |
между и |
|
||||
б) |
остаточный |
член |
|
|
( )( |
) |
|
|
, |
|
, для |
||
|
|
|
|
( ) → 0 |
|
|
→ ∞ |
|
|
||||
Если |
, то ряд, составленный из производных может сходиться, |
||||||||||||
но не к |
.( ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Классический( ) |
пример такой функции: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( |
) = |
|
|
, |
|
≠ 0; |
) = 0. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
получаются все |
( |
)( |
|
||||||
При разложении в ряд Тейлора |
= 0. |
|
|
||||||||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
1
Определение. Степенной ряд называется рядом Тейлора:
( ) |
|
( ) |
|
|
|
( ) |
( |
|
|
|
) |
|
|
( ) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( )( ) |
( |
) |
|
|||||||||
Если |
|
|
, |
1! |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
= 0 |
то данный− степенной+ |
ряд называется− + рядом+ |
Маклорена− : |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
(0) |
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
( )(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема (о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
единственности= 0 + |
представления+ +функции+ |
степенным+ рядом). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если функция |
|
представима на некотором интервале с центром в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенным |
|
рядом( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
− ) |
, то этот |
ряд является |
рядом |
||||||||||||||||||||||
Тейлора этой функции(. ) = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример. Разложить функцию |
|
|
|
|
|
|
( ) |
в ряд по степеням . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Определим значение ( |
) = |
|
|
|
= |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
в точке |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем производные |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( |
) = |
|
(cos +sin |
|
) = √2 |
|
sin( |
+ |
4 |
); |
|
|
|
(0) = |
√2sin |
4 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
( ) = √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
[sin |
+ |
4 |
+cos |
|
|
+ |
4 |
] = √2 |
|
sin( |
+ |
4 |
); |
|
|
2 ′′(0) = √2 sin 4 ;
( )( ) = √2 |
sin( |
+ |
4 |
); ( )(0) = √2 |
sin |
4 |
; |
|
|
|
|||||||||
к |
. Для |
||||||||||||||||||
Теперь проверим, стремится ли остаточный член |
|
|
|
|
нулю при |
||||||||||||||
этого оценим его абсолютную величину: |
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|||||||||||||
|
( ) |
(!) |
|
√2 |
sin( + |
|
) |
|
|
|
|
|
| |
|
| |
| | |
|
|
|
|
|
4 |
|
√2 |
|
|
|
||||||||||||
| | = |
|
= |
! |
< |
! |
|
= . |
|
Для ряда ∑ проверим сходимость по признаку Даламбера:
2
lim→ |
|
= √ |
|
( |
)! |
|
∙√ | !|| | = √ |
|
|
= 0 < 1 |
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
| || |
| |
|
|
|
|
|
| | |
|
|
, |
следовательно, |
ряд |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
сходится, а его общий член |
|
→ 0 |
при |
|
→ ∞ |
(в силу необходимого |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
признака сходимости), поэтому и остаточный член |
|
, имеющий модуль, |
||||||||||||||||||
меньший |
, |
и подавно стремится к нулю при всех |
. Поэтому имеем |
разложение: |
√2 |
sin |
4 |
; (−∞,+∞). |
|
sin = |
|||||
! |
2.Разложение основных элементарных функций
Выпишем разложения в ряды Маклорена основных элементарных функций.
= 1+ |
+ |
2! |
+ + |
|
! |
+ , |
|
|
|
|
(−∞,+∞); |
|
|
|
||||||||||||||||||||
sin |
= |
− |
3! |
+ |
5! |
|
− +(−1) |
|
(2 |
+1)! |
+ , |
(−∞,+∞); |
||||||||||||||||||||||
cos |
= 1 − |
2! |
|
+ |
4! |
− + (−1) |
|
(2 )! |
+ , |
(−∞,+∞); |
|
|||||||||||||||||||||||
arctg |
= |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− +(−1) |
|
|
|
|
|
+ , |
[−1,1]; |
|
||||||||||||||
|
3 |
|
5 |
2 +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ln(1+ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
− +(−1) |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ , |
(−1,1] |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(1+ ) = 1+ + |
|
( |
− 1) |
|
|
|
|
( |
|
− 1)…( − +1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
+ + |
|
|
|
! |
|
+ , |
|||||||||||||||||||||||
Последнее выражение при = −1 принимает вид: |
|
|
(−1,1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
= 1 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− +(−1) |
|
|
+ , |
|
(−1,1). |
|
|
||||||||||||||||
1+ |
|
Заменяя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, приходим к стандартной формуле для суммы |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогрессии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
геометрическойна – |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1,1). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= 1+ |
|
+ |
|
|
|
|
+ + |
|
+ , |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Разложить функцию ( ) = sin в ряд Маклорена.
3
Решение. Воспользуемся тригонометрическим тождеством |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а затем табличным разложением функции |
|
|
|
|
, заменяя |
переменную на |
|
||||||||||||||||||||||||
cos |
|
sin = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
переменную |
2 |
: |
|
|
|
|
(2 ) |
|
(2 ) |
|
|
|
|
(2 ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
− + (−1) |
|
|
|
||||||||||||||||||
sin |
= |
2 |
− |
2 |
1 − |
2! |
+ |
4! |
|
(2 )! |
+ = |
|
|||||||||||||||||||
= |
2 |
− |
2 |
|
|
+ +(−1) |
|
2 |
)! |
|
|
|
+ , |
|
|
|
(−∞,+∞). |
|
|||||||||||||
Пример2!2. |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Разложить функцию |
|
|
|
|
|
|
|
по степеням . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разложением функции . |
|
||||||||||||||||
Воспользуемся табличным( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
−1 = |
+ |
|
|
|
+ + |
|
|
+ , (−∞,+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
выражение на ! : |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем поделим все |
|
||||||||||||||||
−1 |
= 1+ |
2! |
|
+ + |
|
! |
+ , |
(−∞,+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 3. Разложить функцию |
( ) = ln |
|
|
|
|
|
по степеням . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся табличным разложением функции ln(1+ ):
ln(1+ ) = |
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
, (−1,1]; тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1+2 ) = |
|
|
(−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
− |
2 |
, |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1 − ) = − |
|
|
|
|
|
, |
|
|
(−1,1]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln |
1+2 |
|
|
= |
1 |
[ln(1+2 |
) − ln(1 − |
)] = |
1 |
|
|
[(−1) 2 +1] |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 − |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
3 − |
|
+ |
|
− |
|
|
|
+ = − |
|
+ − |
|
+ − |
|
, |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Разложить функцию ( ) = |
|
по степеням ( −1). |
|
4
Решение. Преобразуем эту функцию, чтобы можно было использовать
разложение |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − ( |
|
−1) |
= ( +2) |
1+ − = +2 . |
|||||||||||||||||
|
1 − |
( |
|
|
|
− 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Приравнивая коэффициенты при |
и |
|
, получаем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= − ; |
|
|
|
1+ = −2 = − |
1 |
, = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1+ |
|
= 2 |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
= ∙ |
= |
[разложим] = |
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= сделаем замену |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
3 |
[1+ + + + + ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
1 − |
− 1 |
+ |
( −1) |
|
− +(−1) |
( − 1) |
+ |
|||||||||||||||||||||||
Разложение |
справедливо, когда: |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 1, т.е. −3 < − 1 < 3 −2 < < 4.
Задачи для самостоятельного решения:
1.Разложить функцию
2.Разложить функцию
3.Разложить функцию
4.Разложить функцию окрестности точки
5.Разложить функцию
6.Разложить функцию
|
|
( |
|
|
|
) |
по степеням . |
|
||
( ) = sin |
|
|
попо степеням . |
|
||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
степеням . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
( ) =, тln(.е. по+5 +6) |
в ряд Тейлора в |
|||||||||
( ) = sin |
|
|
||||||||
= −1 |
|
по степеням |
|
. |
( +1). |
|||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
степеням переменной |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
−1) |
|
|
( ) = 2 |
|
|
по степеням( |
− 3) . |
|
3.Приближенные вычисления значений функции
Пример. Вычислить √2 с точностью до 5 знаков после запятой.
Решение. Для решения задачи воспользуемся табличным разложением функции (1+ ) при = :
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 3 −1 |
|
|
|
|
3 3 − 1 |
3 − 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(1+ ) = 1+ |
3 |
|
+ |
|
|
2! |
|
|
5 |
+ |
|
|
3! |
+ = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1+ |
3 |
|
|
− |
9 |
|
|
+ |
81 |
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
128 |
125 |
|
5 |
|
|
128 |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
√2 = |
|
64 |
|
∙ |
125 |
|
= |
4 |
∙ |
|
125 |
|
= |
4 |
1+ |
125 |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 |
∙ 1+ |
|
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
− . |
|
|
|
||||||||
Последнее |
|
4 |
|
|
|
|
|
125 |
|
125 |
|
|
75∙125 |
|
|
|
. Кроме |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
выписанное слагаемое этой суммы меньше, чем |
|
||||||||||||||||||||||||||||
того, полученный числовой ряд является знакочередующимся |
рядом |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
Лейбница, поэтому ошибка при замене суммы ряда на частичную сумму не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда.
Значит, для достижения заданной точности достаточно учесть первые три члена ряда: √2 ≈ (1+0,008 − 0,000064) = 1,25992.
4. Приближенные вычисления значений определенных интегралов
Пример. Вычислить |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
с точностью до 3 знаков после запятой. |
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ряд Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg( ) |
в |
||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Воспользуемся полученным разложением функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= 1− |
3 |
+ |
5 |
− |
7 |
+ |
= = − |
3 |
+ |
5 |
− |
7 |
+ |
2 |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
2 |
− |
2 ∙3 |
+ |
2 ∙5 |
− |
2 ∙7 |
+ . |
|
|
|
|
Получили знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше, чем 10 . Отбрасывая это слагаемое, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью:
arctg( )
≈ 0,5 − 0,01389+0,00125 ≈ 0,487.
6
5. Вычисление предела последовательности
Теория рядов используется в теории последовательностей.
Пример. Доказать, что → [( )!] = 0.
|
Решение. |
|
Составим ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Для изучения его сходимости |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
[( |
|
)!] |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
применим признак |
Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
+1) |
∑ |
[(3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( |
|
|
|
|
)!] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
( |
|
|
3( +1) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
→ |
(3 |
+1)(3 |
|
+2)(3 |
|
+3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙0 = 0 < 1. |
|
|||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
3(3 +1)( |
+1)(3 |
+2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
По признаку Даламбера ряд сходится и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Вычисление→ →значения производной функции в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если функция |
|
|
|
|
|
представима на некотором интервале с центром в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
точке |
степенным(рядом) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то этот ряд является |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме единственности. При этом |
= |
|||||||||||||||||
|
рядом Тейлора этой функции(по) = ∑ |
|
( |
− ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( )( |
) |
Тогда для нахождения значения n-ой производной функции в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
используется! . |
формула: ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример. |
Найти производную (n-ого) =порядка∙ ! |
для функции |
|
|
|
|
|
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0, |
|
= 6 |
|
|
= 99. |
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение. |
|
Разложим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
вряд Тейлоравокрестноститочки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
= |
1 |
sin |
|
= |
1 |
− |
3! |
+ |
5! |
− |
7! |
+ |
= 1 − |
3! |
+ |
5! |
− |
7! |
+ |
|
7
нечетных |
|
= − |
, |
|
( ) |
(0) = − 6! = − . |
|
|
|||||||
Коэффициент |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты при |
|
|||
0 |
|
степенях в |
!данном разложении! |
равны нулю, в частности |
= |
||||||||||
и тогда |
( )(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Применение теории рядов к решению линейных дифференциальных уравнений
Одним из методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является применение теории рядов. Данный метод использует известное утверждение из теории дифференциальных уравнений.
Теорема. Если все коэффициенты и правая часть линейного дифференциального уравнения n-ого порядка
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
разлагаются в |
степенные ряды в некоторой окрестности точки |
|
, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
( ) |
|
|
+ + |
|
( ) |
= |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциального |
|
уравнения, |
удовлетворяющего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условиям: ( ) этого |
|
|
, также разлагается |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) = , ( ) = , , ( |
)( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в степенной ряд в указанной окрестности. |
+ , |
(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
Подставим в уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
начальные условия. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(0) = (0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Найдем вторую |
производную, |
|
|
применяя |
||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирование |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
функции |
|
= 2 |
+3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
неявной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 (0) ∙ (0) = 2∙ |
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Аналогично, |
|
|
= 2( ) +2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||
( |
|
(0) = 2( |
(0)) |
|
+2 (0) |
(0) = 2∙ |
|
|
+2∙ |
|
|
∙ |
|
= |
|
|
,+ |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
) = 4 |
|
+2 |
|
|
|
|
+2 |
|
+6 = 6 |
|
|
′′+2 |
|
|
|
′′′+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
( )(0) = 6 |
(0) |
|
(0) +2 (0) |
|
(0) +6 = 6∙ |
1 |
|
∙ |
1 |
+2∙ |
1 |
∙ |
3 |
+6 = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
+ |
|
+6 = |
|
|
|
|
+6 = |
|
+6 = |
|
|
и т.д. |
4 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку решение уравнения ищем в виде ряда
8
( ) = (0) + (0) |
(0) |
(0) |
( )(0) |
|
|||
+ |
2! |
+ |
3! |
+ |
4! |
+ , |
то подставляя найденные коэффициенты, получим ответ:
( ) = |
|
+ |
|
+ |
! |
+ |
! |
+ |
! |
+ = |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
+ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Типовой расчет для факультетов ИИТ и ФТИ: № 1.12* Варианты 1-4, 5-8, 9- 12, 13-16; № 1.13* (Задача не является обязательной); № 2.4 (по номеру варианта).
9