Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
2
Добавлен:
25.12.2020
Размер:
332.01 Кб
Скачать

Практическое занятие 7

Ряд Тейлора Представление функций степенными рядами. Условие сходимости.

Разложение функций в ряд Тейлора. Приближенные вычисления значений функций и определенных интегралов.

Теоретический материал

1. Представление функций степенными рядами

Пусть ( ) – заданная функция (имеет производные всех порядков) в

некотором интервале с центром в точке

. Тогда можно применить формулу

Тейлора:

)

( )

 

( )(

)

 

 

(

 

 

 

( ) = ( ) +

1!

( −

) +

2!

( − ) + +

!

 

( −

) +

 

 

 

 

 

 

 

+

( ),

где ( ) – остаточный член формулы Тейлора.

Таким образом функция может быть разложена в ряд Тейлора, если:

а) она имеет производные всех порядков;

 

некоторого значения

 

( ) =

!

при(

) .

между и

 

б)

остаточный

член

 

 

( )(

)

 

 

,

 

, для

 

 

 

 

( ) → 0

 

 

→ ∞

 

 

Если

, то ряд, составленный из производных может сходиться,

но не к

.( ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классический( )

пример такой функции:

 

 

 

 

 

 

 

(

) =

 

 

,

 

≠ 0;

) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаются все

(

)(

 

При разложении в ряд Тейлора

= 0.

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

1

Определение. Степенной ряд называется рядом Тейлора:

( )

 

( )

 

 

 

( )

(

 

 

 

)

 

 

( )

 

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

( )( )

(

)

 

Если

 

 

,

1!

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

=

 

= 0

то данныйстепенной+

ряд называется− + рядом+

Маклорена:

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

(

)

(

)

 

(0)

 

 

 

(0)

 

 

 

 

 

 

( )(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1!

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема (о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

единственности= 0 +

представления+ +функции+

степенным+ рядом).

 

Если функция

 

представима на некотором интервале с центром в точке

степенным

 

рядом( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

− )

, то этот

ряд является

рядом

Тейлора этой функции(. ) = ∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Разложить функцию

 

 

 

 

 

 

( )

в ряд по степеням .

 

 

Решение. Определим значение (

) =

 

 

 

=

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

в точке

:

 

 

(0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

в точке

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производные

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

) =

 

(cos +sin

 

) = √2

 

sin(

+

4

);

 

 

 

(0) =

√2sin

4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

( ) = √2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[sin

+

4

+cos

 

 

+

4

] = √2

 

sin(

+

4

);

 

 

2 ′′(0) = √2 sin 4 ;

( )( ) = √2

sin(

+

4

); ( )(0) = √2

sin

4

;

 

 

 

к

. Для

Теперь проверим, стремится ли остаточный член

 

 

 

 

нулю при

этого оценим его абсолютную величину:

 

 

 

 

 

→ ∞

 

( )

(!)

 

√2

sin( +

 

)

 

 

 

 

 

|

 

|

| |

 

 

 

 

4

 

√2

 

 

 

| | =

 

=

!

<

!

 

= .

 

Для ряда проверим сходимость по признаку Даламбера:

2

lim

 

=

 

(

)!

 

| !|| | =

 

 

= 0 < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ||

|

 

 

 

 

 

| |

 

 

,

следовательно,

ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится, а его общий член

 

→ 0

при

 

→ ∞

(в силу необходимого

 

 

 

 

 

 

 

признака сходимости), поэтому и остаточный член

 

, имеющий модуль,

меньший

,

и подавно стремится к нулю при всех

. Поэтому имеем

разложение:

√2

sin

4

; (−∞,+∞).

sin =

!

2.Разложение основных элементарных функций

Выпишем разложения в ряды Маклорена основных элементарных функций.

= 1+

+

2!

+ +

 

!

+ ,

 

 

 

 

(−∞,+∞);

 

 

 

sin

=

3!

+

5!

 

− +(−1)

 

(2

+1)!

+ ,

(−∞,+∞);

cos

= 1 −

2!

 

+

4!

− + (−1)

 

(2 )!

+ ,

(−∞,+∞);

 

arctg

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

− +(−1)

 

 

 

 

 

+ ,

[−1,1];

 

 

3

 

5

2 +1

 

ln(1+ ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

− +(−1)

 

 

 

;

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+ ,

(−1,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ ) = 1+ +

 

(

− 1)

 

 

 

 

(

 

− 1)…( − +1)

 

 

 

 

 

2!

+ +

 

 

 

!

 

+ ,

Последнее выражение при = −1 принимает вид:

 

 

(−1,1).

1

 

= 1 −

 

 

+

 

 

 

 

 

− +(−1)

 

 

+ ,

 

(−1,1).

 

 

1+

 

Заменяя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, приходим к стандартной формуле для суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прогрессии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

геометрическойна –

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1,1).

 

 

 

 

 

= 1+

 

+

 

 

 

 

+ +

 

+ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Разложить функцию ( ) = sin в ряд Маклорена.

3

Решение. Воспользуемся тригонометрическим тождеством

 

 

 

,

 

 

 

а затем табличным разложением функции

 

 

 

 

, заменяя

переменную на

 

cos

 

sin =

 

переменную

2

:

 

 

 

 

(2 )

 

(2 )

 

 

 

 

(2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

− + (−1)

 

 

 

sin

=

2

2

1 −

2!

+

4!

 

(2 )!

+ =

 

=

2

2

 

 

+ +(−1)

 

2

)!

 

 

 

+ ,

 

 

 

(−∞,+∞).

 

Пример2!2.

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Разложить функцию

 

 

 

 

 

 

 

по степеням .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложением функции .

 

Воспользуемся табличным( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 =

+

 

 

 

+ +

 

 

+ , (−∞,+∞).

 

 

 

 

 

 

 

выражение на ! :

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем поделим все

 

−1

= 1+

2!

 

+ +

 

!

+ ,

(−∞,+∞).

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Разложить функцию

( ) = ln

 

 

 

 

 

по степеням .

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Воспользуемся табличным разложением функции ln(1+ ):

ln(1+ ) =

 

 

 

 

 

(−1)

 

 

 

, (−1,1]; тогда

 

 

 

ln(1+2 ) =

 

 

(−1)

2

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

2

,

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 − ) = −

 

 

 

 

 

,

 

 

(−1,1];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

1+2

 

 

=

1

[ln(1+2

) − ln(1 −

)] =

1

 

 

[(−1) 2 +1]

 

=

 

 

 

 

1 −

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3 −

 

+

 

 

 

 

+ = −

 

+ −

 

+ −

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Разложить функцию ( ) =

 

по степеням ( −1).

 

4

Решение. Преобразуем эту функцию, чтобы можно было использовать

разложение

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − (

 

−1)

= ( +2)

1+ − = +2 .

 

1 −

(

 

 

 

− 1)

 

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравнивая коэффициенты при

и

 

, получаем:

 

 

 

 

= − ;

 

 

 

1+ = −2 = −

1

, =

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

= ∙

=

[разложим] =

Тогда

 

 

=

 

 

 

 

 

= сделаем замену

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

[1+ + + + + ] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

1 −

− 1

+

( −1)

 

− +(−1)

( − 1)

+

Разложение

справедливо, когда:

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1, т.е. −3 < − 1 < 3 −2 < < 4.

Задачи для самостоятельного решения:

1.Разложить функцию

2.Разложить функцию

3.Разложить функцию

4.Разложить функцию окрестности точки

5.Разложить функцию

6.Разложить функцию

 

 

(

 

 

 

)

по степеням .

 

( ) = sin

 

 

попо степеням .

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

степеням .

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =, тln(.е. по+5 +6)

в ряд Тейлора в

( ) = sin

 

 

= −1

 

по степеням

 

.

( +1).

( ) =

 

 

 

 

 

 

степеням переменной

 

 

 

 

 

 

 

 

(

−1)

 

( ) = 2

 

 

по степеням(

− 3) .

 

3.Приближенные вычисления значений функции

Пример. Вычислить √2 с точностью до 5 знаков после запятой.

Решение. Для решения задачи воспользуемся табличным разложением функции (1+ ) при = :

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3 3 −1

 

 

 

 

3 3 − 1

3 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ ) = 1+

3

 

+

 

 

2!

 

 

5

+

 

 

3!

+ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1+

3

 

 

9

 

 

+

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

128

125

 

5

 

 

128

 

5

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√2 =

 

64

 

125

 

=

4

 

125

 

=

4

1+

125

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

5

∙ 1+

 

1

 

 

 

1

 

+

 

1

 

 

 

− .

 

 

 

Последнее

 

4

 

 

 

 

 

125

 

125

 

 

75∙125

 

 

 

. Кроме

 

 

 

 

 

 

выписанное слагаемое этой суммы меньше, чем

 

того, полученный числовой ряд является знакочередующимся

рядом

 

 

10

 

Лейбница, поэтому ошибка при замене суммы ряда на частичную сумму не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда.

Значит, для достижения заданной точности достаточно учесть первые три члена ряда: √2 ≈ (1+0,008 − 0,000064) = 1,25992.

4. Приближенные вычисления значений определенных интегралов

Пример. Вычислить

 

 

 

 

 

( )

 

 

с точностью до 3 знаков после запятой.

 

ряд Маклорена:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg( )

в

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся полученным разложением функции

 

 

 

 

 

 

 

arctg( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1−

3

+

5

7

+

= = −

3

+

5

7

+

2

=

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

2 ∙3

+

2 ∙5

2 ∙7

+ .

 

 

 

 

Получили знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше, чем 10 . Отбрасывая это слагаемое, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью:

arctg( )

≈ 0,5 − 0,01389+0,00125 ≈ 0,487.

6

5. Вычисление предела последовательности

Теория рядов используется в теории последовательностей.

Пример. Доказать, что → [( )!] = 0.

 

Решение.

 

Составим ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Для изучения его сходимости

 

 

 

 

 

 

[(

 

)!]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применим признак

Даламбера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1)

[(3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(

 

 

 

 

)!]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

3( +1) !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3

+1)(3

 

+2)(3

 

+3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∙0 = 0 < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(3 +1)(

+1)(3

+2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По признаку Даламбера ряд сходится и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление→ →значения производной функции в точке

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция

 

 

 

 

 

представима на некотором интервале с центром в

 

точке

степенным(рядом)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то этот ряд является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теореме единственности. При этом

=

 

рядом Тейлора этой функции(по) = ∑

 

(

− )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )(

)

Тогда для нахождения значения n-ой производной функции в точке

 

используется! .

формула: (

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Найти производную (n-ого) =порядка∙ !

для функции

 

 

 

 

 

 

при

 

= 0,

 

= 6

 

 

= 99.

 

 

 

 

 

( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Разложим функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

вряд Тейлоравокрестноститочки

 

 

sin

=

1

sin

 

=

1

3!

+

5!

7!

+

= 1 −

3!

+

5!

7!

+

 

7

нечетных

 

= −

,

 

( )

(0) = − 6! = − .

 

 

Коэффициент

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты при

 

0

 

степенях в

!данном разложении!

равны нулю, в частности

=

и тогда

( )(0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Применение теории рядов к решению линейных дифференциальных уравнений

Одним из методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является применение теории рядов. Данный метод использует известное утверждение из теории дифференциальных уравнений.

Теорема. Если все коэффициенты и правая часть линейного дифференциального уравнения n-ого порядка

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разлагаются в

степенные ряды в некоторой окрестности точки

 

, то

 

 

+

 

 

 

( )

 

 

+ +

 

( )

=

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциального

 

уравнения,

удовлетворяющего

условиям: ( ) этого

 

 

, также разлагается

 

 

 

( ) = , ( ) = , , (

)( ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в степенной ряд в указанной окрестности.

+ ,

(0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Решить задачу Коши

 

 

 

 

 

=

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Подставим в уравнение

 

 

 

 

 

 

 

начальные условия.

 

 

(0) = (0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Найдем вторую

производную,

 

 

применяя

дифференцирование

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

функции

 

= 2

+3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0) =

 

 

неявной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (0) ∙ (0) = 2∙

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично,

 

 

= 2( ) +2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(

 

(0) = 2(

(0))

 

+2 (0)

(0) = 2∙

 

 

+2∙

 

 

 

=

 

 

,+

 

 

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = 4

 

+2

 

 

 

 

+2

 

+6 = 6

 

 

′′+2

 

 

 

′′′+6

 

 

 

 

 

 

 

 

( )(0) = 6

(0)

 

(0) +2 (0)

 

(0) +6 = 6∙

1

 

1

+2∙

1

3

+6 =

 

 

 

=

 

 

+

 

+6 =

 

 

 

 

+6 =

 

+6 =

 

 

и т.д.

4

4

 

 

 

 

2

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку решение уравнения ищем в виде ряда

8

( ) = (0) + (0)

(0)

(0)

( )(0)

 

+

2!

+

3!

+

4!

+ ,

то подставляя найденные коэффициенты, получим ответ:

( ) =

 

+

 

+

!

+

!

+

!

+ =

 

+

 

+

 

+

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

Типовой расчет для факультетов ИИТ и ФТИ: № 1.12* Варианты 1-4, 5-8, 9- 12, 13-16; № 1.13* (Задача не является обязательной); № 2.4 (по номеру варианта).

9

Соседние файлы в папке Семинары