3-й семестр / Семинары / 05-06

Практические занятия 5, 6

Функциональные ряды. Область сходимости. Теорема Вейерштрасса

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости

Теоретический материал

1. Функциональные ряды. Область сходимости.

При подстановке произвольного значения x из множества функ-

циональный ряд становится числовым, причем при одних значениях x

числовой ряд может быть сходящимся, а при других – расходящимся.

Определение. Множество значений переменной x, при которых функцио-

нальный ряд сходится, называется областью сходимости функциональ-

ного ряд.

В области сходимости можно говорить о:

а) сумме функционального ряда ( ) = 1( ) + + ( ) + ; б) частичной сумме ( ) = 1( ) + + ( );

в) остаточном члене ( ) = +1( ) +

Пример 1. ∑∞=1 −1 = + + 2 + + −1 + ; ≠ 0.

Решение. Областью сходимости данного ряда является область | | < 1,

для всех из этой области сумма ряда = 1− .

1

Пример 2. 11 + 21 + + 1 +

Решение. Областью сходимости данного ряда является область > 1.

полняется только при | | > 1.

2

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислим:

Т.е. область сходимости: (−∞; −1) (1; +∞).

Замечание. Для нахождения области сходимости функционального ряда можно использовать те же признаки сравнения, что и для числовых рядов

(признак Даламбера, радикальный признак Коши). При этом члены функ-

ционального ряда необходимо брать по модулю, так как признаки при-

менимы к рядам с положительными членами, то есть в области сходимо-

сти ряд будет сходиться абсолютно.

значит, ряд сходится равномерно.

Пример 2. Исследовать характер сходимости ∑∞=0(1 − ) , 0 ≤ ≤ 1.

Решение. Найдем остаток ряда ( ) = (1 − )[+1 + +2 + ]= = (1 − ) +1[1 + + 2 + ] = (1 − ) +1 1−1 = +1 (воспользова-

лись формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии).

Для равномерной сходимости необходимо, чтобы > 0 :

> и | ( )| < .

Предположим, что верно +1 < 0, 0 = 12, найдем : но для 0 = 1

не выполняется 1+1 < 12, а значит, равномерной сходимости нет.

Теорема Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости).

Если члены функционального ряда ∑∞=1 ( ) при всех х, принадлежащих множеству Х, удовлетворяют неравенству: | ( )| ≤ , = 1,2,3, , где ≥ 0 – члены некоторого сходящегося числового ряда ∑∞=1 , то функциональный ряд ∑∞=1 ( ) сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Определение. Числовой ряд ∑∞=1 , удовлетворяющий условиям теоре-

мы Вейерштрасса, называется мажорирующим числовым рядом для функционального ряда ∑∞=1 ( ) или числовой мажорантой.

4

номерно при всех х.

Решение. Мажорирующим числовым рядом для данного функционально-

сходится как ряд Дирихле, то данный функциональный ряд сходится рав-

номерно на всей числовой оси.

Пример 2. Найти область равномерной сходимости функционального ря-

исходного ряда. А значит, по теореме Вейерштрасса, данный функцио-

нальный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.

Пример 3. Найти область равномерной сходимости функционального ря-

(показатель α=3>1), значит данный функциональный ряд сходится абсо-

лютно и равномерно на всей числовой оси (−∞ ≤ ≤ +∞) по теореме Вейерштрасса.

Пример 4. Найти область равномерной сходимости функционального ря-

5

чит данный функциональный ряд сходится равномерно на [−2; 2] по теореме Вейерштрасса.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходи-

мости.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

∞

∑ = 0 + 1 + 2 2 +

=0

Рассматриваются также степенные ряды более общего вида:

∞

∑ ( − 0) = 0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + ,

=0

которые с помощью замены ( − 0) на новую переменную сводятся к рядам вида ∑∞=0 .

Теорема Абеля. Если степенной ряд ∑∞=0 сходится в некоторой точке 0 ≠ 0, то он абсолютно сходится в любой точке х, такой что

| | < | 0|.

Определение. Интервал (− , ) называется интервалом сходимости сте-

пенного ряда, а число R – радиусом сходимости.

Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то его радиус сходи-

мости = ∞, а если ряд сходится только в одной точке = 0, то = 0.

Замечание 1. Степенной ряд вида ∑∞=0 ( − 0) сходится или в интервале (0 − , 0 + ) с центром в точке 0, или на всей числовой оси,или только в точке = 0.

6

Замечание 2. Интервал сходимости степенного ряда может быть найден с помощью признаков Даламбера или Коши. Для установления сходимости или расходимости на концах интервала требуется дополнительное иссле-

дование с помощью других теорем.

Значит (−2,2) – интервал сходимости, = 2 – радиус сходимости.

Исследуем сходимость на концах интервала: 1) = 2.

Ряд принимает вид ∑∞=0 ( +1)2 2 = ∑∞=0( + 1).

Проверим необходимый признак: lim | + 1| = ∞ (≠ 0), т.е. необ-

→∞

ходимый признак не выполнен и ряд расходится.

Решение. Обозначим общий член ряда ( ) = ! .

Применим признак Даламбера:

7

ряд сходится при | | < 1, т.е. область сходимости (−1; 1), радиус сходимости = 1.

Исследуем поведение ряда на концах интервала:

1) = 1.

При подстановке в исходный ряд получаем знакочередующийся ряд

∑∞=1(−1)+1 1.

Проверим абсолютную сходимость, для этого рассмотрим ряд из модулей: ∑∞=1 |(−1)+1 1| = ∑∞=1 1 – гармонический ряд, про который известно, что он расходится, т.е. абсолютной сходимо-

сти у ряда ∑∞=1(−1)+1 1 нет.

Проверим выполнение теоремы Лейбница:

2) = −1.

При подстановке в исходный ряд получаем ряд ∑∞=1(−1)+1 (−1) .

8

который расходится.

Окончательно получаем область сходимости (−1; 1] и радиус сходимости

= 1.

Тогда интервал сходимости будет (−4,2), а радиус схоимости = 3.

Исследуем сходимость на концах интервала:

1) = −4.

При подстановке в исходный ряд получаем ряд ∑∞=2 ln1 . Сравним его с гармоническим рядом ∑∞=1 1. Известно, что ln1 > 1, а ряд

∑∞=1 1 расходится, значит, данный числовой ряд тоже расходится по пер-