3-й семестр / Семинары / 03-04
.pdfПрактические занятия 3, 4
Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Знакопеременные числовые ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости
Теоретический материал
Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости
1. Признак сравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑, тогда: и |
∑ |
|
, |
||||||||
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами |
|
|||||||||||||||||||
причем выполняется условие |
0 ≤ |
≤тоже; ≥ |
|
|||||||||||||||||
а) если |
∑ |
|
расходится, то |
∑ |
|
расходится; |
|
|
|
|||||||||||
|
сходится, то |
∑ |
тоже сходится. |
|
|
|
|
|||||||||||||
б) если∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. Предельный признак сравнения |
|
|
|
|
|
= ,где |
|
|
|
|||||||||||
Пусть даны два ряда с положительными членами: |
и |
|
и |
|||||||||||||||||
|
, то ряды |
|
|
и |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
≠ 0 и |
|
||||
существует конечный и отличный от нуля |
|
→ |
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
≠ ∞ |
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
сходятся и расходятся одновременно. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Признак Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть дан |
ряд. |
с |
положительными членами ∑ |
и |
существует |
|||||||||||||||
lim → |
|
|
= |
|
< 1 − ряд сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда если |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
> 1 −ряд расходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 −требуется дополнительное исследование.
4.Радикальный признак Коши
Пусть дан |
ряд |
. |
с положительными членами ∑ |
и существует |
|
lim → |
|
= |
|
||
< 1 −ряд сходится; |
|
||||
Тогда если |
= |
|
|||
|
|
> 1 − ряд расходится; |
|
=1 − требуется дополнительное исследование.
5.Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами |
|
|
, общий член которого |
||||
совпадает со значением некоторой |
функции |
( ) |
при |
= : |
= ( ) |
. |
|
|
∑ |
|
|
Предположим, что функция |
( |
определена, положительна, непрерывна |
|||||
и монотонно убывает при |
.)Тогда: |
тоже расходится; |
|||||
а) если |
|
расходится, то ряд |
|
||||
( ) |
|
≥ 1 |
|
∑ |
∑ |
|
|
∫ |
сходится, то ряд |
тоже сходится. |
|||||
б) если∫ |
( ) |
|
Примеры
1.Признак сравнения Эталонные ряды
2. |
Ряд Дирихле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
,если |
| |
| ≥ 1 − расходится. |
||||||||||||||||||||||
1. |
Геометрическая прогрессия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| < 1 − сходится; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
,если |
|
|
|
|
|
> 1 −сходится; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 1 − расходится. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Проверим необходимый признак сходимости, вычисляя |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim → |
|
|
√ |
|
|
= lim→ |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
признак выпол- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- необходимый |
lim |
→ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
нен, продолжаем исследование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Оценим общий член ряда |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
√ |
|
|
|
< |
√ |
|
|
|
< |
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Воспользуемся признаком сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
- сходится, как ряд |
Дирихле с |
показателем |
ряд с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
меньшими членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тоже сходится по первому признаку |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.2. |
Исследовать на сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Проверим необходимый признак сходимости, вычисляя |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim→ |
cos |
= ∞ (lim → |
|
|
≠ 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимому |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд расходится поlim |
→ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
признаку сходимости.
1.3. |
Исследовать на сходимость |
∑ |
| |
| |
. |
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим необходимый признак сходимости, вычисляя lim → |
, |
||||||||||||||||
lim → |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
| |
|
|
| |
|
- |
|
необходимый признак выполнен, продолжаем ис- |
||||||||
следование; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравним с рядом ∑ |
|
|
который сходится: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
| |
| |
≤ |
|
|
∑ |
|
| |
|
|
| |
- сходится по первому признаку сравнения. |
||||||
|
|
|
2. |
Предельный признак сравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 способ: сравним с |
|
|
|
|
|
|
|
|
- сходится как ряд Дирихле с показателем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- сходится по первому признаку срав- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
нения. |
( |
) |
|
≤ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 способ: сравним с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится как ряд Дирихле с показателем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
( |
) |
: = 1 |
≠ 0 |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α= |
|
; |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
сходится по пре- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
дельному признаку сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2. |
|
Исследовать на сходимость |
|
∑ |
|
|
2 |
|
|
sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Сравним с ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогрессия с |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- сходится как |
|
|
ряд |
∑ 2 |
|
; |
- сходится по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
= lim→ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
2 |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
предельному→ |
|
признаку сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(√ |
+1 − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Проверим необходимый признак: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim→ √ |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(√ |
|
|
|
)(√ |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- необходимый признак вы- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полнен, продолжаем исследование;
|
|
|
|
|
|
√ +1 − = |
1+ |
|
− 1 . |
||
|
Оценим порядок общего члена ряда, для этого воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых функций:
|
1+ |
( ) |
−1~ |
|
( ) |
; |
( ) → 0. |
В нашем |
случае ( ) = |
|
|
|
. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
∙ |
|
|
|
= |
|
,т.е. в качестве эталонного ряда возьмем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
ряд |
Дирихле |
( |
= 2 > 1), который |
сходится. |
Вычисляем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
− 1 |
: |
|
|
= lim→ |
|
|
|
1+ |
|
|
|
− 1 |
= lim→ |
∙ |
|
= |
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд ∑ |
(√ |
+1 |
− |
|
|
) сходится по предельному признаку. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Признак Даламбера |
|
|
|
|
|
|
∑ |
2 |
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Исследовать на сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim→ |
2 |
|
arctg |
|
|
|
|
|
= 1∙0 = 0 |
- необходимый признак выполнен, продолжаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
исследование; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim→ |
2 |
|
( |
) |
∙ |
= 1∙ |
|
|
|
= |
|
< 1 ряд сходится по при- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
знаку Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( |
|
)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.2. Исследовать на сходимость |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование ряда по необходимому признаку затруднительно, поэтому применим сразу признак Даламбера.
Напомним, что (2 +2)! = (2 )!(2 +1)(2 +2).
|
( |
)! |
|
||
lim→ |
|
|
|
( )! |
|
= lim ( )( ) = ∞ > 1 ряд расходится по признаку
→
Даламбера.
3.3. Исследовать на сходимость |
∑ |
( |
) |
. |
|
|
|
|||||||
Решение. |
)! |
|
∙ |
( |
) = lim→ |
! |
= 0 < 1 |
|
||||||
lim→ |
( |
|
( )( |
) |
|
|||||||||
|
( |
|
) |
|
|
! |
( |
) |
|
|
|
|
|
ряд сходится по при- |
знаку Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Радикальный признак Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.1. Исследовать на сходимость ∑ |
|
√ |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
Решение.
Применим радикальный признак Коши:
lim→ |
|
= lim→ |
|
= lim→ |
|
|
= = 0 < 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
сходится |
||
по радикальному признаку Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Исследовать на сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
( |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.2.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Применим радикальный признак Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim→ |
|
|
|
|
=lim→ |
( |
) |
= lim→ |
( |
) |
( |
|
) |
= lim→ |
|
= |
|
> |
||||||
|
( |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
> 1 ряд расходится по радикальному признаку Коши. |
|
|
|
|
При использовании радикального признака Коши бывают полезны следующие соотношения:
|
|
|
|
→ |
√ |
! |
= |
|
|
|
|
|
|
→ |
√ |
|
= → |
|
|
= |
|
→ |
|
|
= = |
|
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
) . |
|
|||||||||
4.3.Решение. |
|
|
|
|
|
Применим радикальный признак Коши:
lim→ |
|
( ) = lim→ |
|
= 0 < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд сходится по радикальному призна- |
|||||||||||
ку Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Интегральный признак Коши |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Исследовать на сходимость |
|
|
|
|
|
- ряд Дирихле с показателем 5. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5.1.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Воспользуемся интегральным признаком Коши: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
→ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|||||||
|
= lim − |
|
- сходится |
ряд |
|
|
тоже сходится по ин- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тегральному признаку Коши. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Исследовать на сходимость |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.2.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Воспользуемся интегральным признаком Коши: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
= 2lim→ |
√ |
|
|
arctg |
√ |
|
= |
√ |
|
|
|
− |
|
- сходится ряд |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑тоже сходится по интегральному признаку Коши.
|
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( |
) . |
|
|
||||||||||||
5.3.Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Воспользуемся интегральным признаком Коши: |
|
|
||||||||||||||
∫ |
|
|
= ∫тоже |
|
= lim→ |
− |
|
= |
|
|
|
|
||||
∑ |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
- сходится |
|
ряд |
|
|
( |
) |
|
|
сходится по интегральному признаку Коши. |
|||||||||||
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы
Исследовать на сходимость:
1. |
∑ |
( |
|
) |
|
. |
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||
4. |
. |
||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
∑
Домашнее задание: типовой расчет № 1.2-1.5.
Знакопеременные числовые ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости
Теоретический материал
|
|
, называются з |
|
∑ |
(−1) |
∙ |
или |
Определение. Ряды, представленные в виде |
|
|
|
||||
∑ (−1) ∙ |
, где |
> 0 |
накочередующимися числовыми ря- |
||||
|
|
дами.
Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующегося ряда)
Рассматриваем ряд ∑ (−1) |
∙ . |
а) Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю:
б) и |
≥ ≥ |
≥ ≥ ≥ |
|
, |
|
|
стремятся к нулю: |
lim → |
= 0 |
||
то ряд сходится. |
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑ (−1) ∙ .
Решение. Проверим выполнения условий теоремы Лейбница:
ба)) |
= |
|
|
, начиная, |
с номера = 3, верно, |
≤ ; |
|
|
|
||||||
|
lim → |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, ряд сходится по теореме Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости
из |
∑ |
- произвольный знакопеременный ряд, а ряд |
∑ | | |
составлен |
Пусть |
|
|
модулей его членов.
Теорема (Коши). Если сходится ряд из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.
Определение. Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то сам знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей членов, расходится, то такой ряд называется условно сходящимся.
Замечание. При установлении абсолютной сходимости можно пользоваться всеми признаками сходимости положительных рядов.
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(−1) |
|
|
||
1. Исследовать на сходимость |
|
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
Решение. |
Применим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
радикальный признак Коши к ряду из модулей: |
|||||||||
lim → |
|
= lim→ |
53 |
+3+1 |
= |
53 |
< 1 ряд сходится абсолютно. |
||||||
|
|||||||||||||
2. Исследовать на сходимость ∑ |
( √ |
) |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
Решение. Ряд из модулей является расходящимся как обобщенный гармони-
ческий ряд с показателем = (ряд Дирихле). Однако, для данного ряда
выполнены условия теоремы Лейбница (проверить самостоятельно), следовательно, ряд сходится условно.
3. |
Исследовать на сходимость |
∑ |
|
(−1) |
|
|
. |
∑ |
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
Рассмотрим |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
из |
|
|
модулей |
|
|
|
по признаку |
||||||
ра |
lim → |
+1 |
|
( |
) |
∙ |
= |
|
|
< 1 |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= lim→ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
из модулей сходится, зна- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чит исходный ряд сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Исследовать на сходимость |
|
|
(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Ряд из модулей будет∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гармоническим рядом |
|
|
|
|
|
который рас- |
||||||||
ходится, значит, абсолютной сходимости нет. |
Проверим признак Лейбница: |
|||||||||||||||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
исходный |
≤ |
|
lim → |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
верно |
|
и |
|
|
|
|
. |
Признак Лейбница |
выполняется, значит, |
ряд сходится условно.
Замечание. Доказательство монотонного убывания можно проводить одним из трех способов:
а) |
непосредственно из свойств функции; |
|
|
||||||
б) |
оценивая знак разности |
|
|
(знак должен быть |
); |
). |
|||
в) |
взяв производную от |
и |
оценив ее знак (знак должен быть |
||||||
− |
|
> 0 |
< 0 |
||||||
Задания для самостоятельной работы |
|
|
|||||||
Исследовать на сходимость. |
|
|
|
|
|
||||
1. ∑ |
(−1) |
|
|
(Ответ: условная сходимость). |
|
|
|||
|
|
|
|
√
2. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: условная сходимость). |
|
|
( |
) |
|
|||||||||
3. |
|
((Ответ: условная сходимость). |
||||||||||
|
( |
|
|
|||||||||
4. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
) |
(Ответ: абсолютная сходимость). |
|||||
|
|
|
||||||||||
6. |
∑ |
(−1) |
((√2 |
−1) |
(Ответ: условная сходимость). |
|||||||
5. |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
Ответ: абсолютная сходимость). |
|