Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3-й семестр / Семинары / 01

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.12.2020

Размер:

566.56 Кб

Скачать

☆

Практическое занятие 1

Числовые ряды Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости.

Определение. Пусть задана числовая последовательность Составленное из членов этой последовательности выражение

a1 a2 ... an ...

a	, a	2	,..., a	n	,...
1		2		n

называется числовым рядом, члены последовательности называются членами

этого ряда, an	- общий член ряда. Обычно числовой ряд кратко записывается

в виде an .
n 1
Рассмотрим суммы
		S		a	,
			1	1
	S	2	a a			,
		2		1	2

S	n	a
	n	1

Определение. Сумма

	. . .
a	2	... a
	2

n a1 a2

n .

... an называется n-ой частичной

суммой ряда. Частичные

последовательность

S1 , S2 ,..., Sn

,...

суммы образуют новую числовую

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если

конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

существует

lim Sn	S .
n

Число S называется суммой ряда. Допускается запись


an	S
n 1

которая придает символу бесконечной суммы числовой смысл.

Определение. Числовой ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или не существует.

Рассмотрим задачи на вычисление суммы ряда. Задача 1. Вычислить сумму ряда

		1

		(3n 2)(3n 1)
	n 1

	1
	1 4
	1 4

1 4 7

	...	1
	...	(3n 2)(3n 1)
		(3n 2)(3n 1)

...

Решение. Представим общий член ряда в виде разности двух элементарных дробей

1	А	В

(3n 2)(3n 1)	3n 2	3n 1

Найдем А и В, приравнивая числители левой и правой части равенства:

A(3n+1) + B(3n-2) = 1

Составляем систему двух уравнений:

3А 3В 0
	А 2В 1

Решив эту систему получим значения А=1/3																B=-1/3.
Общий член ряда будет:										1				1	(	1		1	)
Общий член ряда будет:									2)(3n 1)						(				)
								(3n	2)(3n 1)					3	3n 2			3n 1
Вычислим частичную сумму с номером n
S		1		1	1		1		1		1	)...		1			1		1	(1	1	)
S	n		1					(				)...								(1		)
	n	3		4	4		7		7		10		3n 2				3n 1		3		3n 1
		3		4	4		7		7		10		3n 2				3n 1		3		3n 1
Существует конечный lim Sn						= 1/3.			Значит, данный ряд сходится и его сумма

равна 1/3

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд

(2n 1)

n 1

1 3 5 ...

(2n

...

Решение. Вычислим частичную сумму этого ряда

1 3 5 ... (2n 1)

1 (2n 1)

n n

В этом примере lim Sn

, следовательно, данный ряд расходится.

( 1)

Задача 3. Вычислить сумму ряда

n 1

( 1)

Решение. Разобьем заданный ряд на сумму двух рядов:

n 1

(

)

(

)

Оба

ряда представляют

бесконечно

убывающую

n 1

геометрическую прогрессию, сумма которой равна

, где b1 – первый

член ряда, а q – знаменатель геометрической прогрессии.

				3
	3			10
Отсюда получаем: (	3	)	n	10
Отсюда получаем: (	10	)		1	3
n 1	10			1	3
n 1
					10

Получаем сумму исходного ряда

			1)		)
	(				)
						n
		n 1	10
		n 1
3		1		26
7		11		77
7		11		77

		1
	10		1

		1	11
1
		10

, ряд сходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Теорема. Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к

нулю, т.е. lim an 0 .
n
Следствие. Если	lim an	0	, то ряд расходится.
	n

Необходимое условие сходимости удобно применять для доказательства расходимости рядов.

				2n 1
Например, ряд 2n 1		расходится, т.к.	lim			2	0 .

n 1	3n 2		n 3n 2		3

Задание Установить расходимость данных рядов, используя необходимое условие сходимости.

(2n

Задача 4

(3n 1)(n 4)

n 1

(2n 3)

12n 9

lim

13n 4

n (3n 1)(n 4)

т.к. необходимое условие сходимости не выполняется.

(Неопределенность

снимается

делением

числителя

ряд расходится,

и знаменателя на

старшую степень n)

				3n		4	5n 1
Задача 5				3n			5n 1
Задача 5					7n		2	3
							2
			n 1
			n 1
										3	5			1
lim	3n4 5n 1								lim	3	n3			n4	3	0
	3n4 5n 1										n3			n4	3
	7n	2	3									3			7
n	7n		3						n			3			7
									n	7
										7			2
											n		2
											n

ряд расходится, т.к.

необходимое условие сходимости не выполняется.

	2n	7		4n	2	3
Задача 6	2n			4n		3
Задача 6	5n		3	8
n 1	5n			8


	2n	7		4n	2	3
lim
	5n		3	8
n

	2n		4			3
	2n	n		4		n	6
				4			6
lim								0
lim				8				0
n	5			8
	5		n		3
					3

ряд расходится, т.к.

необходимое условие сходимости не выполняется.

									2	n		7	n 1
	Задача 7								2			7
	Задача 7							5	3		n	4 7		n
								5	3			4 7

							n 1
																	(	2	)	n	7
																				n
	2	n		7	n 1						(делим все на 7n) =							7					7
		n			n 1
lim															lim									0
lim			n			n									lim									0
	5 3		n	4 7		n													3		n		4
n	5 3			4 7											n	5	(		3	)	n	4	4
n															n
																			7
																			7

т.к. необходимое условие сходимости не выполняется.

ряд расходится,

Задача 8

	n		5n 3	n		2n )
(	n	2	5n 3	n	2	2n )
n 1

lim (	n	2	5n 3	n	2

n

2n)

(домножаем

и делим на сопряженный

множитель)=

lim			3n 3
		2			2
n	n		5n 3	n

				(	n	2
		lim		(	n
		lim
		n
	)		3		0
2n	)		2		0

2n)(

2n)

)

5n 3

ряд

расходится,

т.к.

необходимое

условие сходимости не выполняется.

Для решения следующих задач вспомним понятие эквивалентных бесконечно малых величин.

при →
;	;	;		;		1 − 2 /2;
x − 1 ;	x − 1 ;		(1 +	) ;	(1 + )p	− 1 p

								1 cos			3
								1 cos			n
	Задача 9										n
	Задача 9									5			)2
						n 1 (arctg				5
						n 1 (arctg
									n 1
			3					(3 / n)					2
	1 cos		3					(3 / n)
	1 cos		n				0			2					9(n 1)		2	9
																	2
lim		5								5					50n	2		50	0
					2									2		2
n	(arctg			)	2		0	(				)		2
n
		n 1								1
		n 1						n		1

необходимое условие сходимости не выполняется.

ряд расходится, т.к.

Задача10

				5
n	2	ln(1		5	)
	2
				2
			3n	2	1
n 1			3n		1
n 1

lim n2 ln(1		5		) 0	5n2				5	0 ряд расходится, т.к. необходимое
		2				2
n	3n		1		3n		1	3

условие сходимости не выполняется.

Задача11

	4n 3
(	4n 3	)
		3n
n 1	4n 8
n 1

Для решения этой задачи применим второй замечательный предел.

→∞ (1 + 1/ )x = (неопределенность 1∞)

lim (	4n 3	)	3n

	4n 8
n

1

lim (1	4n 3	1)	3n

	4n 8
n

	5		4n 8		5	3n
lim [(1	5	)	5	]	4n 8	3n
			5		4n 8
	4n
n	4n	8

	15n		15
lim e	4n 8	e	4
lim e		e

n

выполняется.

Задача12

0	ряд расходится, т.к. необходимое условие сходимости не

	2n 3	2
(	2n 3	)
		n
n 1	5n 1
n 1

	2n 3		2		2
lim (	2n 3	)	n	(	2	)	0	1	0
			n
n	5n 1				5

ряд расходится, т.к. необходимое условие

сходимости не выполняется.

Задача13

(3n 1)

n 1

2 ln(3n 1)

] lim e

ln(3n 1)

= lim e

lim (3n 1) n

[ 0

=e0=1≠0

lim

2 ln( 3n 1)

[

] lim

(применили правило Лопиталя)

n 3n 1

ряд расходится, т.к. необходимое условие сходимости не выполняется.

Домашнее задание.

Математический анализ, 3 семестр: учебнометодическое пособие / Аксененкова И. М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., А.В. Татаринцев. М.: МИРЭА, 2019, (в дальнейшем, будем называть: математический анализ, типовой расчет 3 семестр для студентов ИИТ) на сайте кафедры высшей математики 2 МИРЭА

Задача 1.1. стр.9

№1, 2, 6, 10, 11, 13, 15 Задача 1.2 стр.10

№1 - 16

Соседние файлы в папке Семинары

#
25.12.2020566.56 Кб301.pdf
#
25.12.2020413.07 Кб202.pdf
#
25.12.2020335.53 Кб303-04.pdf
#
25.12.2020453.95 Кб205-06.pdf
#
25.12.2020332.01 Кб207.pdf
#
25.12.2020435.1 Кб208.pdf