3-й семестр / Семинары / 13

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3 СЕМЕСТР

Практическое занятие 13

Преподаватель: Горшунова Татьяна Алексеевна – доцент кафедры ВМ-2

e-mail: gorshunova@mirea.ru

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Ряды с комплексными членами. Ряды Тейлора и Лорана

Теорема. Функция ( ), аналитическая в круге | − 0| < , разлагается в нем единственным образом в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

( ) = ∑∞=0 ( − 0) , коэффициенты которого вычисляются по формулам

где – окружность с центром 0, целиком лежащая в круге сходимости ряда

| − 0| < .

Предполагается, что окружность проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Справедливы следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки 0 = 0.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Задача. Разложить в ряд Тейлора по степеням :

1)( ) = +2

2)( ) = ln (3 + )

3)( ) = 23−5

Ряд Лорана

Определение. Рядом Лорана называется ряд вида:

где 0, – комплексные постоянные, а – комплексная переменная.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Теорема. Функция ( ), однозначная и аналитическая в кольце < | − 0| < (не исключаются случаи = 0 и = +∞), разлагается в этом кольце единственным образом в сходящийся к ней ряд Лорана

∞ −1 ∞

На практике при нахождении коэффициентов используют готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана функцию ( ) = 2 1 в окрестности точки

0 = 0.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Это разложение справедливо для любой точки ≠ 0, т.е. в кольце 0 < | | < +∞.= 0, = +∞. В этом кольце функция является аналитической.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

всей комплексной плоскости, указать правильную и главную части ряда.

Решение. Разложим функцию на простейшие дроби

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Особые точки функции ( ) находим, приравнивая знаменатель к нулю:

(3)

1)Чтобы получить разложение в | | < 1 , используем формулу:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Найдем области сходимости: | | < 1 и | | < 5. Оба ряда сходятся в круге

| | < 1 и представляют правильную часть ряда Лорана.