3-й семестр / Семинары / 14

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

2. Если 0 – простой полюс

( 0) = lim ( )( − 0)

→ 0

Если ( ) в окрестности точки 0 представима как частное двух аналитических функций ( ) = (( )), причем ( 0) ≠ 0, ( 0) = 0, ′( 0) ≠ 0, т.е. 0 – простой полюс функции ( ), 0 = НН(0)(1) = П(1)

( 0) = ( 0) ′( 0)

3. Если 0 – полюс порядка функции ( )

1 −1

( 0) = ( − 1)! −1 [ ( )( − 0) ]

→ 0

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

4.Если точка 0 – существенно особая точка функции ( ), то для нахождения вычета, необходимо найти коэффициент −1 в лорановском разложении функции ( ) в окрестности точки 0

( 0) = −1

Примеры. Найти вычеты функции ( ) в ее особых точках.

1. ( ) = sin

Решение. Особая точка: 0 = 0. Определим ее тип: sin 0 = 0, значит 0 является нулем для числителя, (sin )′ = cos | 0 ≠ 0, значит, эта точка является нулем первого порядка для числителя.

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

3. ( ) = 4 1

Решение. 0 = 0 – существенно особая точка функции ( ). Убедимся в этом, разложив ( ) в ряд Лорана по степеням .

( ) = 4 1 = 4 ∑∞=0 !1 = 4 (1 + 1!1 + 2!1 2 + 3!1 3 + 4!1 4 + 5!1 5 + 6!1 6 + ) = = 4 + 3 + 2!1 2 + 3!1 + 4!1 + 5!1 + 6!1 2 + .

Главная часть данного ряда бесконечна, следовательно, 0 = 0 – существенно особая точка функции ( ).

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

+1 4. ( ) = ( +2 )2( −1)

Решение. Особые точки функции: 1 = −2 , 2 = 1.

Упрощаем, приводим к ответу в виде комплексного числа:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Задачи для самостоятельного решения

Найти вычеты функции ( ) в ее особых точках:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Домашнее задание:

Часть 1, задачи 1.19, 1.20, 1.21.

Часть 2, типовой расчет задачи 2.7, 2.8 (свой вариант)