3-й семестр / Семинары / 14

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3 СЕМЕСТР

Практическое занятие 14

Преподаватель: Горшунова Татьяна Алексеевна – доцент кафедры ВМ-2

e-mail: gorshunova@mirea.ru

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Изолированные особые точки

Определение. Точка 0 называется изолированной особой точкой функции ( ), если ( ) аналитическая в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки 0, а в точке 0 функция не определена или не дифференцируема.

Рассмотрим точку 0 и разложим ( ) в ряд в окрестности точки 0, т.е. по степеням

( − 0).

Если точка 0 – правильная, т.е. ( ) аналитична в т. 0, то существует окрестность (круг радиуса ) | − 0| < , внутри которого ( ) аналитическая и функция раскладывается

Если точка 0 – изолированная особая точка (ИОТ), то ( ) аналитична в кольце 0 < | − 0| < и функция раскладывается в степенной ряд Лорана:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Определение. Точка 0 называется нулем -го порядка аналитической функции( ), если – порядок первой не равной нулю производной:

( 0) = 0, ′( 0) = 0, … , ( −1)( 0) = 0, ( )( 0) ≠ 0

Если = 1, то точка 0 называется простым нулем.

Теорема 1. Точка 0 является нулем -го порядка функции ( ), аналитической в точке 0, тогда и только тогда, когда имеет место равенство:

( ) = ( − 0) ( ), где ( ) аналитическая в точке 0 и ( 0) ≠ 0.

Связь между нулем и полюсом:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

является нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )) и нулем порядка для функции ( ) ( 0 = Н( )), то есть 0 = Н( ), то:

1)при > точка 0 является нулем функции ( ) порядка = − ,

2)при < точка 0 является полюсом функции ( ) порядка = − ,

3)при = точка 0 является устранимой особой точкой функции ( ).

Пример. Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

1. ( ) = −1

Решение. Особая точка 0 = 0. Она является нулем для числителя: ( − 1)| =0 = 0. Определим порядок нуля в числителе:

( − 1)′ = | =0 = 1 ≠ 0, следовательно, это нуль первого порядка. Для знаменателя 0 = 0 является нулем первого порядка, значит

0 = НН(1)(1) – устранимая особая точка

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Особые точки: 1 = −1, 2 = 1.

Числитель ни в одной из этих точек не обращается в ноль.

Для знаменателя: 1 является нулем второго порядка. Точка 2 является нулем первого порядка.

Значит1 = НН(0)(2) = П(2) – полюс второго порядка, 2 = НН(0)(1) = П(1) – простой полюс.

1

3. ( ) = −2

Решение. Особая точка 0 = 2. Это существенно особая точка, так как ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. по степеням ( − 2) содержит

1 1

бесконечную главную часть: −2 = ∑∞=0 ( −2) !

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

4. ( ) = sin

Решение. Найдем особые точки: sin = 0, = , = 0, ±1, ±2, …

Для знаменателя они являются простыми нулями, т.к. (sin )′ = cos | = ≠ 0. Рассмотрим отдельно точку = 0, т.к. она обращает числитель в ноль и

является нулем первого порядка: = 0: НН(1)(1) = УОТ.

= , = ±1, ±2, …: НН((01)) = П(1) − простые полюсы.

Задачи для самостоятельного решения

Найти все особые точки функции ( ) и определить их тип:

РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

Вычет функции в изолированной особой точке

Определение. Вычетом аналитической функции ( ) в изолированной особой точке 0 называется комплексное число, обозначаемое символом ( 0) и определяемое равенством: