3-й семестр / Задачи по программированию - Абрамов С.А. и др
. .pdfДаны действительные u, υ , натуральное n. Найти
∑ |
n |
ak bk |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(k + 1)! |
|
|
||||
k = 1 |
|
|
|
||||
100. Пусть |
|
|
|||||
x1 = x2 = x3 = 1; |
xi = xi–1 + xi–3, |
i = 4, 5, … |
|||||
100 |
x |
|
|
|
|||
Найти ∑ |
|
i |
. |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
i= 1 |
2 |
|
|
|
|
|
101. Даны положительные действительные числа a, x ,ε . В
последовательности y1, y2, ... , образованной по закону
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
y0 |
= a; yi = |
|
|
yi− 1 + |
|
|
, i = 1, 2, ...; |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
yi− 1 |
|
найти первый член yn , для которого выполнено неравенство
yn2 − yn2− 1 < ε .
102. Пусть x0 = 1; |
|
|
|
xk = |
2 |
− |
x3 |
, k = 1, 2, ... Найти первый член |
||||
|
|
|
|
|
k − 1 |
|||||||
|
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn , для которого |
|
xn − xn− 1 |
|
|
< 10− 5 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
103. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = 1; yk = |
|
|
yk − 1 + |
1 |
|
, k = 1, 2, ... |
|
|||||
|
|
yk − 1 |
+ |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дано действительное ε |
>0. Найти первый член yn , для которого |
выполнено yn − yn− 1 < ε .
104. Дано действительное a > 0. Последовательность x0, x1, ...
образована по закону
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при a ≤ 1, |
||
|
|
|
min(2a, 0.95) |
|||||||||||
x0 |
= |
|
a |
|
|
|
|
|
при 1 < a ≤ 25, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
в остальных случаях, |
|||
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
n |
= |
|
a |
x |
n− 1 |
+ |
4 |
, |
n = 1, 2, ... |
||||
5 |
5xn4− 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти первый член xn , для которого 54 a xn+ 1 − xn < 10− 6 .Вычислить
для найденного значения xn разность a − xn5 .
105. Даны натуральное число n, действительное число x. Вычислить:
а) xn2 / 2n ;
б) xn3 / 3n.
106. Даны действительные числа a, b, натуральное число n
(b > a) . Получить ( f1 + ... + |
fn)h, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a + |
|
|
− |
1 |
|
|
|
||
|
b |
− |
a |
|
|
|
|
i |
|
|
|
h |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
h = |
, |
f i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, i = 1,2 ,..., n . |
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + a |
+ |
|
i − |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107. Дано целое число m > 1. Получить наибольшее целое k, при котором 4k < m.
108. Дано натуральное число n. Получить наименьшее число вида 2r , превосходящее n.
109. Дано натуральное число n. Вычислить 12 + 2 3 4 +...+ n(n+1) ...2n.
110. Вычислить:
|
|
1 |
|
|
1+ |
|
1 |
|
|
3 + |
1 |
|
||
|
|
|||
|
1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
5 + |
|
|
|
|
. |
|
.
.
101+ 1
103
111. Дано действительное число x ≠ 0. Вычислить
x
x2 + |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
x2 + |
|
|
|
|
|
||
x2 + |
|
8 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + |
256 |
! |
||
|
|
|
|
|
x2 |
112. |
Даны целые числа n, k, (n ≥ k ≥ 0). Вычислить |
||
|
n(n − 1)...(n − k + 1) |
. |
|
|
|
k! |
|
113. |
Пусть n - натуральное число и пусть n!! означает 13 5 … n |
для нечетного n и 2 4 ... n для четного n. Для заданного натурального n вычислить:
а) n !!;
б) (− 1)n+1n!!.
114. Вычислить :
а)
в)
100 1
∑i= 1 i2 ;
∑10 1 ;
i= 1 i!
б) ∑50 |
|
1 |
; |
|
|
3 |
|
|
|||
i= 1 i |
|
|
|||
г) ∑128 |
1 |
|
; |
||
(2i) |
2 |
||||
i= 1 |
|
|
|
|
52 |
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
д) ∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*); |
|
|
|
|
е) ∏ |
2 + |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
2 |
+ |
2i + |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
i= 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
i! |
|
|
|||||||||||
|
|
100 |
i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
ж) ∏ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
з) ∏ |
1− |
|
|
. |
|
||||||
|
|
i + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 2 |
|
i! |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*) Выражение ∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть краткая запись произведения |
||||||||||||||||||
|
i |
2 |
+ |
2i + |
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
... |
|
52 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∏ |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; вообще, |
fi |
||||||||||
12 |
|
|
2 + 2 2 + 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
+ 2 1+ 3 2 |
|
52 |
2 + 2 52 + 3 |
|
|
|
|
|
i= m |
|||||||||||||||||||
обозначает при n ≥ |
m произведение |
fm fm+ 1 ... fn ; при n < m |
||||||||||||||||||||||||||
выражение смысла не имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115. Дано натуральное число n. Вычислить:
a) ∑n |
1 |
; |
б) ∑n |
1 |
; |
|
5 |
||||
k = 1 k |
|
k = 1 k |
в) ∑ |
n |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
г) ∑ |
n |
|
(− 1)k |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
(2k + 1)k |
|
||||||
k = 1 (2k + |
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
||||||||||
д) ∑n |
(− 1)k + 1 |
|
|
; |
|
|
|
е) ∑n |
(− 1)k (k + 1) |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
k = 1 k(k + 1) |
|
|
|
|
|
k = 0 |
|
k! |
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
... + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116. Даны натуральное число n, действительное число x. Вычислить:
а) ∑ |
n |
xi |
|
|
|
б) ∑ |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
i! |
+ |
x |
; |
|
||
|
i! |
|
|
|
|||||||||
i= 1 |
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
||||
в) ∑ |
n |
x + cos(ix) |
|
г) ∏ |
n |
|
|
|
sin(kx) |
||||
|
|
|
|
; |
|
1+ |
|
|
|
; |
|||
|
|
2 |
i |
|
|
k! |
|
||||||
i= 1 |
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
д) ∏ |
n |
|
k |
|
|
− |
|
k |
|
|
|
|
|
cos |
|
||
|
k + |
1 |
|
|||||
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
е) ∏ |
n |
(1− x)k + 1 + 1 |
|||
|
|||||||
x |
; |
|
|
|
|
. |
|
|
((k − 1)!+ |
1) |
2 |
||||
|
|
k = 1 |
|
|
117. Дано натуральное число n. Вычислить произведение первых n сомножителей:
а) |
1 |
|
3 |
|
5 |
... ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
118. Вычислить 1− |
1 |
+ |
1 |
− ... + |
1 |
− |
|
1 |
следующими |
||||||||||
2 |
3 |
9999 |
10000 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четырьмя способами:
а) последовательно слева направо;
|
|
|
|
б) последовательно слева направо вычисляются 1+ |
1 |
+ |
1 |
и |
|||
|
|
|
|
3 |
9999 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ |
1 |
+ |
... + |
|
1 |
, затем второе значение вычитается из первого; |
|
|||
2 |
3 |
10000 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) последовательно справа налево; г) последовательно справа налево вычисляются суммы,
выписанные в б), затем - вычитание.
Почему при вычислениях на вычислительной машине каждым из способов получаются разные результаты?
119. Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью ε (ε > 0). Считать что требуемая точность достигнута, если несколько первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше, чем ε ,
это и все последующие слагаемые можно уже не учитывать. Вычислить: