3-й семестр / Лекция 2 - Бинарное дерево

void Pereorder (BinTree T){ if( ! Empty(T))

{

Pereorder(LeftTree(T),visit);

Visit(Root(T));

Pereorder(RightTree(T),visit);

}

}

Обход бинарного дерева в обратном порядке

обойти в обратном порядке левое поддерево

обойти в обратном порядке правое поддерево посетить корневой узел

void Pereorder (BinTree T){

{

If (!Empty(T) )

{

Pereorder(LeftTree(T),visit);

Pereorder(RightTree(T),visit);

Visit(Root(T));

}

}

Пример 5. Использование алгоритмов обхода для создания:

Польской постфиксной записи выражения Постфиксная запись (знак операции следует за операндами) выражения a+b/с имеет вид abc/+

Польской префиксной записи выражения Префиксная запись (знак операции указывается перед операндами) выражения a+b/с имеет вид +a/bc

Инфиксной записи выражения.

Инфиксная запись (знак операции между операндами) выражения имеет вид a+b/с

При создании таких форм записи выражения используется алгоритм обхода дерева выражения.

Пусть имеется дерево выражения, представленное на рисунке 7.

Обход дерева выражения в обратном порядке позволяет создать польскую постфиксную запись выражения.

ab+cde/-*

Обход дерева выражения в прямом порядке позволяет создать польскую префиксную запись выражения.

*+ab-c/de

Обход дерева выражения в симметричном порядке позволяет создать инфиксную запись выражения.

(a+b)*(c-d/e)

Пример 6. Использование алгоритма обхода для отображения бинарного дерева на мониторе.

Так как узлов в дереве может быть много, то при выводе на монитор выводить информацию надо построчно, то удобно дерево представить в перевернутом виде, как представлено на рисунке 8 вид 2.

Из рисунка видно, что самым первым выводится правый узел правого поддерева, затем его корень, затем его левый узел и т. д., т.е. выводится правое дерево, затем левое поддерево, опять с самого правого. Из представления дерева видно, что для вывода удобно использовать симметричный обход, только начинать надо с правого поддерева.

L

2

Рис. 8. Дерево (1) и вид при выводе на монитор(2)

//выводит дерево level –уровень выводимого узла.

// Количество пробелов от уровня 0 до уровня узла по формуле номер уровня

* L

void printBinTree(BinTree T.int level,int L){ int i;

If (! Empty(T))

{

printBinTree((rightTree(T), level+1,L); for (i=1;i<=level*L; i++ ){

cout<<’ ‘; cout<<Data(T);

printBinTree((LeftTree(T), level+1,L);

}

}

Обход бинарного дерева алгоритмом “в ширину”

Такой обход выводит дерево по уровням. При обходе пройденные узлы записываются в очередь, затем из очереди извлекается узел и обрабатывается, а в очередь отправляются его сыновья (узлы левого и правого деревьев.

Пример 8. Обход дерева в ширину

Рассмотрим алгоритм обхода в ширину на приведенном дереве

1)В очередь помещается первый узел с меткой А Очередь

А

2)Из очереди извлекается узел для обработки и в очередь помещаются его сыновья

3) Из очереди извлекается узел В для обработки и в очередь помещаются его сыновья

7)Из очереди извлекается узел F для обработки и в очередь должны помещаться его сыновья, но их нет, значит ничего не помещается

G

8)Из очереди извлекается узел G для обработки и в очередь помещаются его сыновья

НJ

9)Из очереди извлекается узел H для обработки и в очередь должны помещаться его сыновья, но их нет, значит, ничего не помещается

J

10)Из очереди извлекается узел J для обработки и в очередь должны помещаться его сыновья, но их нет, значит, ничего не помещается

11)Очередь пуста, а следовательно, все дерево пройдено.

Реализации бинарного дерева

1.Таблица

Таблица состоит из элементов, включающих ссылку на правое поддерево, левое поддерево и метку узла. Данные по узлам могут храниться в другой структуре данных, например, массив.

Рассмотрим представление в памяти дерева, элементы которого проиндексированы по мере его добавления.

Рис. 9. Бинарное дерево узлы индексированы и имеют метки

В нижеследующей таблице приведена реализация дерева рисунка 9.

Определение реализации дерева в программе может быть таким:

Type

TNode=record

LeftTree:integer;

rightTree:integer;

Label:Tdata

End;

BinTree=record

Table: array of TNode; Root:integer

N:integer; //количество узлов

End;

2. Массив родителей

Бинарное дерево можно представит в памяти через массив родителей. Массив родителей описан в лекции 7 для сильно ветвящихся деревьев.

Массив для дерева рисунка 9.

3. Реализация законченного двоичного дерева

Согласно теории по данному дереву (см. раздел 3 данной лекции), его узлы можно индексировать: корневому узлу присвоить индекс 0, если i – индекс узла, то узел его правого поддерева имеет индекс 2i+2, а узел его левого поддерева будет иметь индекс 2i+1.

Рис. 10. Индексированное законченное бинарное дерево

Представим массив для хранения дерева на рисунке 10.

Определение реализации дерева в программе может быть таким:

Type

BinTree=record

Table: array of TData;

N:integer; //количество узлов

End;

4. Реализация на указателях

Структура узла

Область данных

Тогда бинарное дерево, со значениями, представляющими метки

С

F G

H J

можно представить в виде структуры, представленной на рисунке 11

End; Tdar=array of Tdata;

procedure CreateNode( var Node:BinTree;labelNode:Tdata );//создание узла

//создание идеально сбалансированного дерева из n узлов

//данные для узла передаются в массиве а, передается индекс первого элемента

Procedure CreateBinTree(var T:BinTree;n:integer;const a:TDar;var i:integer); //указатель на левое поддерево

Function LeftTree(var T:BinTree): BinTree; //указатель на правое поддерево

Function RightTree(var T:BinTree): BinTree;

//отображение бинарного дерева на монитор

Procedure printBinTree(T:BinTree;level,L:integer); Function Empty(var T:BinTree):boolean;

//значение узла дерева Т

Function Data(var T:BinTree):Tdata; implementation

procedure CreateNode( var Node:BinTree;labelNode:Tdata ); begin

New(Node);

Node.LabelNode:=labelNode;

Node.LeftTree:=nil;

Node.RightTree:=nil

end;

Procedure CreateBinTree(var T:BinTree;n:integer;const a:TDar;var i:integer); var

nl,nr:integer; begin

if n<>0 then begin

nl:=n div 2; nr:=n-nl-1;

CreateNode(T,a[i]);

i:=i+1;

CreateBinTree(T^.LeftTree,nl,a,i);

CreateBinTree(T^.RightTree,nr,a,i);

end

end;

Function LeftTree(var T:BinTree): BinTree; begin

result:=T^.LeftTree;

end;

Function RightTree(var T:BinTree): BinTree; begin

result:=T^.RightTree;

end;

Procedure printBinTree(T:BinTree;level,L:integer); Var

I:integer;

Begin

If not Empty(T) then Begin

printBinTree(rightTree(T),level+1,L); for i:=1 to level*L do

write( ' ' ); writeln(Data(T));

printBinTree(LeftTree(T), level+1,L);

end

end;

Function Empty(var T:BinTree):boolean; begin

result:=T=nil

end;

Function Data(var T:BinTree):Tdata; begin

result:=T.LabelNode

end;

end.

//ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}