3-й семестр / Лекция 1 - Нелинейные структуры данных

Рис.8. Реализация списка левых сыновей и правых братьев в форме таблицы

3 Алгоритмы обхода K– арного дерева

Обход дерева – это алгоритм, обеспечивающий посещение каждого узла дерева с целью выполнить операцию с данными узла.

Обход дерева возможен, если дерево упорядочено.

Так как дерево является частным случаем графа, то можно использовать два вида обходов, допустимых над графами:

обход в глубин - это посещение узлов по поддеревьям (ветвям).;

обход в ширину это обход по уровням (обход сыновей)..

3.1Алгоритмы обхода в глубину

Существует три вида алгоритмов обхода в глубину: прямой, обратный,

симметричный.

Схемы обходов

Рассмотрим схемы алгоритмов для дерева, представленного на рисунке 8. Дерево с корнем А имеет два поддерева – левое А и правое В.

Прямой обход предусматривает посещение узлов в следующем порядке: корень, левое поддерево, правое поддерево, т.е. АВС.

Симметричный обход предусматривает посещение узлов в следующем порядке: левое поддерево, корень, правое поддерево, т.е. ВАС.

Обратный обход предусматривает посещение узлов в следующем порядке: левое поддерево, правое, поддерево корень, т.е. ВСА.

Рис. 8. Дерево с двумя поддеревьями

Алгоритм прямого обхода непустого К - арного дерева

1.Сначала посещается корень дерева (узел n).

2.Затем осуществляется обход левого поддерева Т1 дерева Т в прямом порядке (т.е. этим же алгоритмом).

3.После обхода Т1 последовательно осуществляется обход в прямом порядке поддеревьев Т2, Т3, Тк.

Пример 5. Список узлов, в порядке посещения для дерева, представленного на рисунке 9.

Т

1

Рис.9. Дерево Т из трех поддеревьев Т1, Т2, Т3

Посещение узлов будем представлять в виде списка узлов. Список узлов при прямом обходе.

Список посещенных узлов Комментарии к операции

Обход дерева узла 5 завершен, в дереве Т1 посещено левое поддерево, но не посещено правое, согласно алгоритма теперь надо обойти правое поддерево Т1 в прямом порядке.

Пройдены все поддеревья поддерева Т1 дерева Т и тем самым все левое поддерево дерева Т. Надо обойти следующие поддеревья дерева Т. Это дерево Т2.

Обход дерева Т3 завершен, так кА у него одно поддерево – это левое.

Обход дерева Т по алгоритму прямого обхода завершен.

Алгоритм симметричного обхода непустого К - арного дерева

1.Сначала обходим левое поддерево Т1 дерева Т алгоритмом симметричного обхода.

2.Затем посещается корень дерева Т.

3.После посещения корня осуществляется последовательный обход всех остальных поддеревьев дерева Т Т2, Т3, Тк в симметричном порядке.

Пример 6. Список узлов дерева Т, представленного на рис.9. при симметричном обходе.

6, 5, 3, 4, 2, 11, 9, 12, 13, 1, 7, 10, 8

Алгоритм обратного обхода непустого К - арного дерева

4.Сначала обходим левое поддерево Т1 дерева Т алгоритмом симметричного обхода.

5.Затем осуществляется последовательный обход всех остальных поддеревьев дерева Т: Т2, Т3, Тк в обратном порядке.

6.Затем посещается корень дерева Т.

Пример 7 . Список узлов дерева Т, представленного на рис.9. при обратном обходе.

6, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 9, 2, 7, 10, 8, 1

Алгоритм обхода в глубину

Осуществляется сверху вниз по уровням.

Пример 8 . Список узлов дерева Т, представленного на рис.9. при обходе в глубину.

1, 2, 7, 8, 5, 9, 10, 6, 3, 4, 11, 12, 13

Выводы. Рассмотренные алгоритмы обхода применяются для структуры определяемой рекурсивно. Из определений алгоритмов видно, что они так же рекурсивные. Реализация алгоритмов обхода может быть как рекурсивной, так и не рекурсивной.

Реализация рекурсивных алгоритмов обхода

Введем абстрактный тип данных – дерево (Tree) и определим в нем данные (дерево) и операции над деревом.

АТД Tree

Данные

// TNode – тип значения метки узла //TLabel - Тип индекса элемента в дереве Узел (n), являющийся корнем дерева. Список из К узлов (n1, n2, ……nk).

Операции

//Создание дерева из К узлов.

Procedure CreateT(var T:Tree); //Поиск левого сына узла n

function LeftSon(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; //Поиск правого брата n

function rightBrather(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; //Поиск родителя узла n

function Parent(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; //Корень дерева

function Root(n:Tlabel;const T:Ttree):TNode; //проверка не пусто ли дерево

function Empty(T:TNodeR):Boolean; Procedure PreOrder(n:Tlabel;const T:Ttree); end ATD

Реализация АТД Tree на таблице левых сыновей и правых братьев //Модуль Unit с реализацией

unit Unit1;

function Parent(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; function Root(n:Tlabel;const T:Ttree):TNode; function Empty(T:TNodeR):Boolean; Procedure PreOrder(n:Tlabel;const T:Ttree);

implementation

Procedure CreateT(var T:Ttree); var i,w:integer;

begin T.Root:=1;

writeln('countNodes=');

readln(T.countNodes);

for i:=1 to MaxNodes do //обнуление дерева begin

T.Sons[i].Node:=' ';

T.Sons[i].Left:=0;

T.Sons[i].Right:=0

end;

for i:=1 to T.countNodes do begin

writeln('Koren - Metka uzla char ', i); readln(T.Sons[i].Node);

end;

for i:=1 to T.countNodes do begin

writeln('Left uzla ',T.Sons[i].Node); readln(T.Sons[i].Left); writeln('right uzla'); readln(T.Sons[i].right);

end;

end;

function LeftSon(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; var i:integer;

begin i:=1;

while (i<= T.countNodes) and (T.Sons[i].Node<>n) do

inc(i);

if i>T.countNodes then LeftSon:= 0

else

LeftSon:= T.Sons[i].left;

end;

function rightBrather(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; var i:integer;

begin i:=1;

while (i<= T.countNodes) and (T.Sons[i].Node<>n) do

inc(i);

if i>T.countNodes then rightBrather:= 0

else

rightBrather:= T.Sons[i].right;

end;

function Parent(n:TNode;const T:Ttree):Tlabel; var i:integer;

begin

//найти индекс узла n i:=1;

while (i<= T.countNodes) and (T.Sons[i].Node<>n) do inc(i);

if i>T.countNodes then result:= 0

else begin

//если узел найден то //искать индекс в списке индексов левых сыновей result:=i;

i:=1;

while (i<= T.countNodes) and (T.Sons[i].left<>result) do inc(i);

if i>T.countNodes then begin

//поиск индекса в списке правых братьев i:=1;

while (i<= T.countNodes) and (T.Sons[i].right<>result) do inc(i);

if i>T.countNodes then result:=0

else

result:=i; end

else result:=i;

end;

end;

function Root(n:Tlabel;const T:Ttree):TNode; begin

result:=T.Sons[n].Node;

end;

function Empty(T:TNodeR):Boolean; begin

result:=T.Node=' '; end;

Procedure PreOrder(n:Tlabel;const T:Ttree);

Var

L,R:Tlabel;

Begin

If (n<>0)and not Empty(T.Sons[n]) then

begin

writeln(Root(n,T)); //можно заменить функцией обработки данных узла

L:= LeftSon(root(n,T),T); PreOrder(L,T);

While (L<>0) and (not Empty(T.Sons[L])) do Begin

R:=rightBrather(Root(L,T),T);

PreOrder(R,T);

End; End

End;

end.

Тестирующая программа для дерева рисунка 8.

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses SysUtils,

Unit1 in 'Unit1.pas';

var T:Ttree; w:Tlabel;

begin CreateT(T);

w:=rightBrather('B',T);

writeln(w);

preorder(T.Root,T);

readln;

end.