96. Множество положительных рациональных чисел как расширение

множества натуральных чисел

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел явля­юсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо вы­полнение ряда условий.

Первое условие- это существование между N иQ+ отношения включения. Докажем, что

N ÌQ+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезкеевыражается натуральным числомm. Разобьем единичный отрезок направных частей. Тогдаn-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точноmпраз, т.е. длина отрезкахбудет выражена дробью. Значит, длина отрезках выражается и натуральным числомm, и положительным рациональным числом. Но это

должно пбыть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби видаявляются записями натурального числаm.

Следовательно, N ÌQ+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129.

Рисунок 129.

Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических дейст­вий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы­полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть аиb- натуральные числа,а+b- их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чиселаиbпо правилу сложения вQ+. Так как а =,b=, то+==а+bУбедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расшире­нии множества натуральных чисел - это выполнимость вQ+опера­ции, не всегда осуществимой вN. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множествеN, в множествеQ+вы­полняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа mиnи найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

m:n =:==.

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как част­ое натуральных чиселmиn:

==:= m:n.

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде на­турального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть - неправильная дробь. Тогдаm>n. Еслиmкратноn, то в этом случае дробьявляется записью натурального числа. Если числоm не кратноn, то разделимm наnс остатком:

m=nq + r, гдеr<n.

Подставим nq + rвместоmв записьи применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:==+=q+.

Так как r<n, то дробь- правильная. Следовательно, неправильная дробь — оказалась представленной в виде суммы нату­рального числаqи правильной дроби. Это действие называется

выделением целой части из неправильной дроби. Например, ==+=3+.

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо

3 + пишут 3и называют та­кую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

3=3+=+==.

Упражнения

1. Какие из данных чисел являются дробными:

а) ; б); в); г)?

7 27 1 2

2. Докажите, что вычитание, умножение и деление натуральных чисел в множестве N и Q+ согласованно.

3.Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получилось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправильную дробь?

4. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число:

а) меньше 1; б) больше 1?

5. Решите арифметическим методом задачи.

а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1раза больше машин, чем в первом. Сколько ма­шин в каждом гараже?

б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли од­новременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час на км больше другого. С какой скоростью шел каждый,

если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало 7км?

Лекция 50. Десятичные дроби

План:

1. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.

2. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные.

3. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби.

4. Преобразование периодических десятичных дробей в обыкновенные.