Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

3. Докажите, что:

а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с);

б) если а > b + с, то а - ( b + с) = (а - b) - с.

4. Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14); в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.

5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:

а) 12-5

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - П;

в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.

Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 7865  6 – 7865 5: б) 957  11 - 957; в) 12  36 – 7  36.

65. Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b с = а.

Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие суще­ствования частного.

Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1  с, то, ум­ножив обе его части на натуральное число b, получим b  bс. Но bс = а, следовательно, b  а.

Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а + b):с = а:с + b:с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а;с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b:с, что

b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, полу­чаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b : с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деле­ния суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления раз­ности на число: для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа b: (а  b):с - (а:с)  b.

Д о к азательство . Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теорему можно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с ум­ножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 163 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Упражнения

1. Докажите, что:

а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;

б) если числа а и b делятся на с и а > b, то (а - b): с = а: с - b: с . 2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные: а) 48:(24) = 48:2:4; б) 56:(27) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

3. Какие свойства деления являются теоретической основой для выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;

. верны ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида:

а) (а + b):с; б) а: b: с; в) ( а  b): с .

Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.

5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои действия обоснуйте:

а) (7 63):7; в) (15 18):(56);

б) (3 4 5): 15; г) (12  21): 14.

6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

в) 480:32 = 480: (8 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560  32): 16 = 560(32:16) = 5602 = 1120.

7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.

Лекция 34. Свойства множества целых неотрицательных чисел

План:

1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.

2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.