62. Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями.

Если любое натуральное число аумножить на 1. то получитсяа,т.е. имеет место равенствоа  1 = аи мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать числоа на натуральное числоb, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:

если известно, что 7  5 = 35, то для нахождения произведения 7 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 6 = 7(5 + I) = 7 5 + 7. Таким образом, произведениеа  b' можно найти, если известно произведение:а  b=а  b+а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение.Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) ( а  N) а 1 а.

2) ( а, b  N) а b' = а  b+а.

Число а  b называется произведением чисела и b, а сами числаа и b- множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..

Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в оп­ределении умножения: 1 • 1 = 1; 2 • 1 = 2; 3 • 1 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 • 2 = 1 • 1'= 1 • 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 • 2 к произведению 1 •1' осуще­ствлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выраже­ния 1 •1' к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 • 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 • 2 = 2 •1' =2 • I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 • 2 = 3 • 1' = 3 • 1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассо­циативно и дистрибутивно относительно сложения.При аксиомати­ческом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Теорема 8. ( а, b, с  N) (а + b) • с = а • с + b • с.

Теорема 9. ( а, b, с  N) с • (а + b) = с • а + с • b

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Теорема 10. ( а, b, с  N) (а • b) • с = а • ( b • с).

Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.

Теорема 11. ( а, b  N) а • b = b • а.

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.

Упражнения

1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений: а) 3 • 3; 6) 3 • 4; в) 4 • 3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 • (10 + 4); 6)125 • 15 • 6; в) (8 • 379) • 125?

6. Известно, что 37 • 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 • 18; 6) 185 • 12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 • 8 + 8962 • 2; б) 63402 • 3 + 63402 • 97; в) 849 +849 • 9.

8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3 • 7 + 3 • 5; 6) 7 • (5 + 3): в) (7 + 5) • 3?

Верны ли равенства:

а) 18 • 5 • 2 = 18 • (5 • 2); в) 5 • 6 + 5 • 7 = (6 + 7) • 5;

б) (3 • 10) •17 = 3 • 10 • 17; г) 8 • (7 + 9) = 8 • 7 + 9 • 8? Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70 • 32 + 9 • 32 ...79 • 30 + 79 • 2; 6) 87 • 70 + 87 • 8 ... 80 • 78 + 7 • 78?

Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

План:

1. Упорядоченность множества натуральных чисел.

2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел

3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деленияна нуль. Деление с остатком.