3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А ={a,b,c,d,e}, В = {b,d,k,m}, С = {х, у,z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, а множества А и С, В и Сне пересекаются.

Рассмотрим множества А ={a,b,c,d,e} и В = {с,d, е}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В являетсяподмножествомА и пишут: В⊂А.

Определение: Множество В является подмножеством А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Верно: ∅⊂А и А⊂А. В этом случае множества∅ и А называютнесобственными.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3},{4}, двухэлементные {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество ∅. Таким образом, данной трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество содержит nэлементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Если рассматриваются подмножества одного и того же множества U, то в этом случаеUназывают универсальным. Так множество четырехугольников универсально для множества ромбов, квадратов, трапеций, прямоугольников, параллелограммов.

Определение. Множества А и В называются равными, если А⊂В и В⊂А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементови что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Возможны следующие отношения между двумя множествами:

А В А В А=В А В

а) б) в) г) д)

Пересекаются - а); В⊂А - б), А⊂В - в), А = В - г), А и В не пересекаются

Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Лекция 2. Операции с множествами

План:

1. Пересечение множеств

2. Объединение множеств

3. Свойства пересечения и объединения множеств

4. Пересечение множеств

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение обозначается знаком ∩: А∩В = {х/х∈А и х∈В}. Например, А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}, А∩В = {6, 8}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является их общая часть.

А В А В А=В А В

а) б) в) г) д)

Множества А и В пересекаются – а), б), в, г; множества А и В не пересекаются – д).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А∩В =∅.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы. Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство пересечения составляется из характеристических свойств множеств и союза «и».

Например, А – четные натуральные числа, В – двузначные числа. А∩В – четные и двузначные числа.

Рассмотрим случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∩В = В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А∩В будет таким, как и свойство элементов множества В.

Умение вычленять множества в задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Какие числа будут общими?», надо понять, что в задаче требуется найти число элементов в пересечении этих множеств.