Ryady_Vychety_Integraly

∞

4.Пусть 0 ≠ ∞ − полюс порядка для функции . Тогда

5.

11

∞= − 2 (3)

=0

6.Если аналитична в комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек однозначного характера 1, 2, … , , то

=1

Вычисление многих интегралов по замкнутому контуру основано на следующей теореме о вычетах.

Пусть:

1)Функция аналитична и однозначна в области D всюду, кроме конечного числа изолированных осо-

на границе ;

2)Граница ∞ является кусочно-гладкой и обходится так, что область D остается слева.

Тогда

Теоретические упражнения

1.Показать, что вычет функции в устранимой особой точке 0 равен нулю, если 0 ≠ ∞ и может быть не равен нулю, если

0 = ∞.

2.Доказать, что вычеты четной функции в точках = 0 и равны нулю.

Задачи

1.Найти вычеты следующих функций во всех конечных изолированных особых точках и в точке = ∞, если она не является неизолированной особой точкой:

Решение: а) особыми точками функции являются точки= 0 − простой полюс, = −1 − полюс 2- го порядка и

= ∞ − устранимая особая точка. Согласно формулам (1), (2)

и (3):

б) особые точки функции: = 2 − полюс 3-го порядка и = ∞ − существенно особая точка. По формуле (2)

Вычет в точке = ∞ − не определен; г) особые точки функции: = 0 − существенно особая точка и

= ∞ − полюс 1- го порядка. И в окрестности нуля, и в окрестности

д) особые точки функции: = 0 − существенно особая точка и= ∞ − устранимая особая точка. По формуле (3)

Согласно (4) 1 = −∞ = sin1 ;

е) функция имеет две существенно особые точки = 0 и = ∞, в окрестностях которых

,

откуда найдем коэффициент при −1 :

.

и

2

= 2π 1 + 4 = − 2 π ;

б) подынтегральная функция имеет две особые точки 1 = 2 и2 = ∞. Так как контур γ = 1 является границей круга < 1, а

подынтегральная функция в этом круге особых точек не имеет, т.е. аналитична и непрерывна на границе круга, то по интегральной теореме Коши или по формуле (5), где правая часть отсутствует, интеграл = 0;

в) контур γ z = 3 является границей круга < 3. В этом подынтегральная функция имеет одну особую точку = 2, где вычет функции равен −2 sin4. Следовательно, = −4π sin4 ;

сматривая контур γ как границу круга < 2, то при этом придется вычислить 9 вычетов функции в точках = 1, и = , = 1,8. Если же вычислять интеграл, рассматривая γ как противоположно направленную границу области : > 2, так как граница есть окружность γ, направленная по часовой стрелке, то при этом придется вычислить только один вычет ∞ . Тогда

=1

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти вычеты следующих функций во всех конечных изолированных особых точках и в точке = ∞, если она не являет-

ся неизолированной особой точкой:

2. Считая, что контур γ обходится против часовой стрелки, вычислить интегралы:

в) = 0, = 0, ±1,±2, … ;

г) 2 = ∞ = 0;

д) 2 = −∞ = − 14324 ;

е) −1 = −∞ = − cos 1 ;

Занятие 15. Интегралы от периодических функций и интегралы по бесконечному промежутку.

Теорема 1. Пусть cos φ , sin φ − рациональная функция двух переменных, непрерывная по φ на отрезке 0; 2π . Тогда

2π

cos φ , sin φ φ

0

гие другие интегралы от периодической функции φ с основным периодом 2π сводятся к интегралу по единичной окружности = 1 с помощью замены φ = .

Теорема 2. Пусть функция аналитична в верхней полуплоскости Im > 0 всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек 1, 2, … , , непрерывна на действительной оси и

lim→∞ = 0. Тогда

кости всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек

1, 2, … , , непрерывна на действительной оси и lim→∞ = 0. Тогда