Мат_Логика(лекции)

Определение. Интерпретацией I формулы A с сигнатурой σA =

{X1, ..., Xn, q1, ..., qm, G1, ..., Gl} на области M называется набор

{M, X10, ..., Xn0, q10, ..., qm0 , G01, ..., G0l },

где M – некоторое множество, X10, ..., Xn0 – элементы из M, q10, ..., qm0 {И,Л}, а G01, ..., G0l

– предикаты, определенные на M.

Пусть A0 – истинностное значение формулы A, полученное подстановкой в A всех значений переменных, указанных в интерпретации. Оно называется значением формулы A в данной интерпретации I на области M. (Иногда удобно обозначать это истинностное значение A0 формулы A также через A(I).)

Примеры:

1) A = Y Z(G(X, Y )→G(Y, Z)), σA = {X, G}.

Рассмотрим интерпретацию I = {N, 5, <}. В этой интерпретации M = N – множество натуральных чисел, переменная X принимает значение 5, а G заменяется предикатом "<"(т.е. G(X, Y ) = (X < Y )).

Имеем: A0 = Y Z((5 < Y )→(Y < Z)) =И, так как существует Y = 3 такое, что при любом Z N : ((5 < 3) (3 < Z)) =И. Итак, формула A истинна в данной интерпретации.

2) A = X(q→G(X)), σA = {q, G}.

Интерпретация I = {N, И, (X – четное)}.

A0 = X(И→(X – четное)) =Л.

Формула A ложна в данной интерпретации.

Определение. Интерпретация, в которой данная формула принимает истинностное значение И, называется моделью. Существуют формулы, имеющие много моделей; существуют и формулы, не имеющие моделей.

Например, формула ¯ не имеет моделей, как легко проверить.

G(X) G(X)

Определение. Формула A называется выполнимой на области M, если существует интерпретация на этой области, в которой формула A принимает значение И.

Определение. Формула A называется выполнимой, если она выполнима на какой-либо области M.

Определение. Формула A называется общезначимой, если она принимает значение И в любой интерпретации.

Примеры:

1.X Y R(X, Y ) – выполнимая формула. Интерпретация {N, <}. X Y (X < Y ) =И.

¯

2.XG(X) G(X) – невыполнимая формула.

Действительно, пусть I = {{a}, G } – произвольная интерпретация на M = {a}. Тогда

21

Итак, формула невыполнима на M = {a}. Покажем, что она выполнима. Рассмотрим интерпретацию I = {{a, b}, G0}, где G0 задается следующей таблицей:

Формула A общезначима.

§8. РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

8.1. Определение равносильных формул.

Определение. Две формулы ЛП называются равносильными на области M, если они принимают одинаковое значение в любой интерпретации на этой области. Эти формулы называются равносильными, если они принимают одинаковое значение в любой интерпретации.

Обозначение равносильных формул A и B: A = B.

Пример: X(q→G(X)) = (q→ XG(X)).

I = {M, q0, G0} – произвольная интерпретация.

1) Пусть A = X(q→G(X)) (левая формула) и B = (q→ XG(X)) (правая формула).

Пусть A0 =И, т.е. X(q0→G0(X)) =И. Тогда если q0 =И, то и G0(X) =И на M. Но тогдаXG0(X) =И, а значит, и B0 = (q0→ XG0(X)) = (И →И) =И.

Если q0 =И, то B0 = (Л→ XG0(X)) =И. Следовательно, в любом случае A0 = B0 =И.

2) Пусть B0 =И, т.е. (q0→ XG0(X)) =И. Если q0 =И, то G0(X) =И на M, откуда A0 =X(q0→G0(X)) =И. Если q0 =Л, то A0 = X(q0→G0(X)) = X(Л→G0(X)) =И. Итак, снова A0 =И= B0. Итак, значения A0 и B0 формул A и B на произвольной интерпретации I совпадает, а значит, A и B равносильны.

Все равносильности ЛВ сохраняются в ЛП, но вместо переменных высказываний можно ставить любые формулы ЛП. Однако, в ЛП есть еще дополнительные (так называемые основные) равносильности, которые мы перечислим ниже.

8.2. Дополнительные основные равносильности логики предикатов.

Пусть A(X), B(X), D(X, Y ) – формулы ЛП, содержащие свободную переменную X, а C – формула ЛП, не содержащая свободной переменной X.

22

Перечислим основные равносильности ЛП:

¯

1.XA(X) = XA(X);

¯

2.XA(X) = XA(X);

3.X(A(X) B(X)) = XA(X) XB(X);

4.X(A(X) C) = XA(X) C;

5.X(A(X) C) = XA(X) C;

6.X(C→B(X)) = C→XB(X);

7.X(B(X)→C) = XB(X)→C;

8.X(A(X) B(X)) = XA(X) XB(X);

9.X(A(X) C) = XA(X) C;

10.X(A(X) C) = XA(X) C;

11.X(C→B(X)) = C→XB(X);

12.X(B(X)→C) = XB(X)→C;

13.X Y (A(X) B(Y )) = XA(X) Y B(Y );

14.X Y (A(X) B(Y )) = XA(X) Y B(Y );

15.X Y D(X, Y ) = Y XD(X, Y );

16.X Y D(X, Y ) = Y XD(X, Y );

17.XA(X) = Y A(Y );

18.XA(X) = Y A(Y ).

Доказательство этих равносильностей проводится по определению равносильных формул.

8.3. Формулы в предваренной нормальной форме.

Определение. Формула A логики предикатов имеет предваренную нормальную форму, если она либо не имеет кванторов, либо все кванторы стоят впереди.

Теорема. Для любой формулы ЛП существует равносильная ей формула, имеющая предваренную нормальную форму.

Доказательство этой теоремы проводится методом индукции по числу логических связок с использованием основных равносильностей. Здесь доказательство не приводится.

Пример. Для данной формулы A = ( XG(X)→XQ(X)) найдите равносильную в предваренной нормальной форме:

23

§9. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШЕНИЯ ДЛЯ ОБЩЕЗНАЧИМОСТИ И ВЫПОЛНИМОСТИ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Постановка проблемы разрешения (разрешимости) для логики предикатов такова: указать алгоритм для определения по произвольной формуле логики предикатов, общезначима она или нет (соответственно, выполнима она или нет).

Так как формулы исчисления высказываний входят в формулы логики предикатов, то эта проблема является обобщением аналогичной проблемы для исчисления высказываний.

Однако в то время, как решение проблемы разрешения для исчисления высказываний не представляет трудностей, проблема разрешения для логики предикатов оказалась связанной с серьезными трудностями. Это вызвано прежде всего тем, что для предикатной формулы A существует бесконечно много интерпретаций, на которых нужно установить ее истинность, т.е. путем прямой проверки значения A на каждой интерпретации эту проблему не решить.

После того, как в 30-х годах XX века в математической логике было дано точное определение алгоритма, А.Черч впервые доказал, что проблема разрешения (для общезначимости) в логике предикатов неразрешима.

Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разрешимости решается.

Определение. Формула логики предикатов (ЛП) называется замкнутой, если она не

содержит свободных предметных переменных X1, X2, ...

Определение. Пусть A(X1, ..., Xn) – формула ЛП, и X1, ..., Xn – список ее свободных переменных. Формула X1, X2, ..., XnA(X1, ..., Xn) называется замыканием общности формулы A.

Теорема 0. Формула A общезначима тогда и только тогда, когда общезначима формула, являющаяся замыканием общности A.

Доказательство. Проделайте самостоятельно.

Эта теорема позволяет свести проблему разрешения для общезначимости к этой же проблеме только для замкнутых формул.

Пусть дана конечная область M = {a1, ..., an}. Тогда

Эти равносильности будут использованы в дальнейшем.

Опишем классы формул ЛП, для которых разрешима проблема общезначимости.

Вид I. Замкнутые формулы в предваренной нормальной форме, имеющие вид

Теорема 1. Если формула имеет вид I и тождественно истинна в любой области, состоящей из одного элемента, то она общезначима.

24

Доказательство. Пусть формула B вида (1) имеет сигнатуру

σB = {q1, ..., qs, P1, ..., Pt}.

|{z } | {z }

Проведем доказательство методом от противного. Предположим, что формула B необщезначима. Тогда существует область M и интерпретация

< M, q10, ..., qs0, P10, ..., Pt0 >,

в которой

X1 X2... XnA0(X1, ..., Xn) = .

(Предикаты Gi и Pi0 по определению отличаются лишь областью определения, на N они просто совпадают.)

т.е. в интерпретации (4) на области N формула ложна. Но область N состоит из одного элемента, и по условию теоремы в этой интерпретации на области N формула (6) должна быть истинной. Противоречие.

Примеры.

1) X Y (G1(X) G2(Y ) G1(X) G2(Y )), N = {a}, < {a}, G01, G02 > – интерпретация,

25

Вид II. Замкнутые формы в предваренной нормальной форме, имеющие вид

B = X1... Xn A(X1, ..., Xn).

Теорема 2. Если формула B вида II тождественно истинна на любой области, состоящей не более, чем из n элементов, то она общезначима.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1 методом от противного. Предлагается провести его самостоятельно.

Примеры.

Установить, общезначимы ли следующие формулы:

¯

1)X(G(X) G(X)).

По теореме 2 эту формулу достаточно проверить на области из одного элемента:

< {a}, G0 > – интерпретация.

2) X Y (Q(X, Y )→Q(X, Y )).

Достаточно проверить эту формулу на области из одного элемента и области из двух элементов:

Формула общезначима.

Вид III. Замкнутые формулы в предваренной нормальной форме, имеющие вид

B = X1... Xm Y1... Yn A(X1, ..., Xm, Y1, ..., Yn).

Теорема 3. Если формула B вида III тождественно истинна на любой области, состоящей не более, чем из m элементов, то она общезначима.

Доказательство. Без доказательства.

Вид IV. Замкнутые формулы вида IV, содержащие только одноместные предикаты.

Теорема 4. Если формула вида IV тождественно истинна на любой области, состоящей не более, чем из n элементов, где n – число одноместных предикатов в формуле, то она общезначима.

Доказательство. Без доказательства.

26

§10. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

10.1. Формулировка исчисления предикатов.

Исчисление предикатов (ИП) является расширением исчисления высказываний (ИВ). Языком ИП является язык логики предикатов.

Для задания множества аксиом в ИП используются схемы аксиом. Поясним отличие аксиомы от схемы аксиомы. Например, аксиома (A1) : p→(q→p) ИВ будет в новой формулировке заменена схемой A→(B→A), где A и B – формулы. Аксиомы ИП включают в себя аксиомы ИВ.

Схемы аксиом ИП:

I. Схемы аксиом (A1) − (A10) ИВ;

II. а) XA(X)→A(Y ); б) A(Y )→ XA(X)

(здесь A – такая формула, в которой свободное вхождение переменной Y не находится в области действия квантора с переменной X).

Правила доказуемости ИП:

1.Правило заключения (модус поненс, МР):

`A, A→B ` B.

(Напомним, что ` означает значок доказуемости.)

Заметим, что в ИП, в отличие от ИВ, отпадает надобность в правиле подстановки, так как вместо аксиом используются схемы аксиом, т.е. возможность делать подстановку уже обеспечена.)

2.Правило введения квантора общности (правило обобщения):

`B→A(X) ` B→XA(X)

(при условии, что формула B не содержит свободных вхождений переменной X).

3. Правило введения квантора существования (правило конкретизации):

` A(X)→B ` XA(X)→B

(при условии, что B не содержит свободных вхождений X).

Определение доказуемой формулы в ИП:

1.Всякая аксиома - доказуемая формула.

2.Формула, полученная из доказуемых формул с помощью одного из правил доказуемости, является доказуемой.

Примеры доказуемых формул:

1. Всякая формула ИВ доказуема в ИП.

` → ¯→

Например, A (A B).

2. XA(X)→( Y B(X, Y )→ XA(X)) ( схема аксиомы (A1)).

27

Теорема 1. Формула, полученная подстановкой в тавтологию ИВ, доказуема в ИП.

Доказательство опускается.

Выводимость в ИП:

Определение. Выводом формулы A из совокупности формул H называется последовательность формул A1, A2, ..., An, удовлетворяющая условиям:

Правила выводимости, кроме теоремы дедукции, в силу теоремы 1 верны и в ИП. Например,

A→(B→C) ` B→(A→C) – правило перестановки посылок, A→(B→C) ` A B→C – правило соединения посылок,

A B→C ` A→(B→C) – правило разъединения посылок.

Теорема дедукции в ИП формулируется с некоторыми ограничениями. Подробное изложение этого вопроса можно найти в книгах:

1.С.Клини. Математическая логика. М.: Мир, 1973.

2.Д.Гильберт, В.Аккерман. Основы теоретической логики. М.: Иностр. Лит., 1947. Там же дается подробное изложение исчисления предикатов.

10.2. Проблемы непротиворечивости и полноты ИП.

Для любого исчисления наиболее важным вопросом является вопрос о непротиворечивости. Рассмотрим этот вопрос для исчисления предикатов. (Напомним, что исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует формулы, доказуемой одновременно со своим отрицанием.)

Определение. Пусть A – произвольная формула ИП. Формула A исчисления высказываний называется присоединенной к A, если она получена из A следующим образом:

1)все кванторы в A, если они имеются, отбрасываются,

2)предикатные переменные заменяются на переменные высказывания, причем одинаковые переменные заменяют одной буквой.

Например: ( XG(X)→G(Y )) = (p→p).

Теорема 2. Формула, присоединенная к доказуемой формуле ИП, является тавтологией.

Доказательство.

1) Формулы, присоединенные к аксиомам – тавтологии. Это достаточно проверить для аксиом группы II (для аксиом группы I доказывать нечего).

а) ( XA(X)→A(Y )) = (p→p) = И;

28

б) (A(Y )→ A(X)) = (p→p) = И.

2) Покажем теперь, что по правилам доказуемости, примененным к формулам, у которых присоединенные формулы – тавтологии, получается формула, присоединенная к которой

– тавтология.

Правило заключения МР: ` A, A→B ` B.

Дано, что A = И, (A→B) = И. Но (A→B) = A →B . Но тогда B = И, что и требовалось.

3) Правило введения квантора общности: ` B→A(X) ` B→ XA(X).

Имеем: (B→A(X)) = И. Но тогда и (B→ XA(X)) = (B→A(X)) = И, что и требовалось.

4) Правило введения квантора существования. Доказательство аналогичное. Теорема доказана.

Теорема 3. Исчисление предикатов непротиворечиво.

Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Предположим, что

существует формула такая, что ` и ` ¯ Но тогда согласно теореме 2 И и

=

A

A.

A

A

¯ И, что невозможно. Теорема доказана.

A = A =

Рассмотрим теперь вопрос о полноте ИП.

Теорема 4. Все доказуемые формулы исчисления предикатов общезначимы.

Доказательство опускается.

Напомним, что исчисление называется полным в узком смысле, если добавление к его аксиомам любой недоказуемой формулы приводит к противоречивому исчислению.

Теорема 5. Исчисление предикатов неполно в узком смысле.

Доказательство. Найдем недоказуемую формулу, присоединение которой к аксиомам ИП не ведет к противоречивому исчислению.

Рассмотрим формулу R(X)→R(Y ). Ясно, что она необщезначима, поэтому по теореме 4 она недоказуема. Присоединяя ее к аксиомам ИП, получим новое исчисление, которое мы обозначим ИП . В этом исчислении ИП у всех доказуемых формул (включая последнюю) присоединенные формулы являются тавтологиями. Тогда, повторяя доказательство теоремы 3, получаем, что новое исчисление ИП непротиворечиво. Теорема доказана.

Напомним, что исчисление называется полным в широком смысле, если всякая общезначимая формула в нем доказуема. Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 6 (теорема Г¨еделя о полноте). Всякая общезначимая формула исчисления предикатов доказуема, т.е. исчисления предикатов полно в широком смысле.

29

§11. ФОРМАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути преодоления парадоксов.

С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу полной формализации математики, т.е. построения математики в виде формальной аксиоматической теории. Гильберт и его последователи стали называться формалистами. Идея Гильберта заключалась в том, чтобы для построения формальной теории доказать ее непротиворечивость. Были формализованы многие разделы математики. Это сыграло большую роль в развитии математических теорий. Мы вернемся в конце этого параграфа к вопросу о том, осуществился ли план Гильберта.

Всякая математическая теория использует логику, поэтому чтобы построить формализованную теорию, нужно было формализовать логику математических теорий. Исчисление предикатов как раз и является формализацией логики математических теорий. Заметим, что языка исчисления высказываний было недостаточно для такой формализации.

План построения формальной теории был дан в §6. Дадим здесь более точные определения.

Определение формальной математической теории.

I. Определяется язык L математической теории.

Алфавит.

1) Предметные переменные X, Y, Z, ..., X1, Y1, Z1, ... и предметные константы

a, b, c, a1, b1, c1, ...

2)Переменные высказывания p, q, r, p1, q1, r1, ... и постоянные высказывания И,Л.

3)Предикатные переменные G, P, Q, R, G1, P1, Q1, R1, ...

4)Функциональные символы f1, f2, ...

5)Логические связки , , →, ¯, , и символ "=".

6)Вспомогательные символы ( , ).

Так как символы групп 2,5 и 6 одинаковы для всех теорий, то при описании теории указывают только группы 1, 3 и 4 символов.

Определение терма.

1)Любое предметное переменное или предметная константа суть термы.

2)Если f – функциональный символ (n-местный) и t1, t2, ..., tn – термы, то f(t1, ..., tn) –

терм.

Определение формулы.

1) Если GI – предикатный символ (n-местный) и t1, t2, ..., tn – термы, то Gi(t1, ..., tn) –

формула.

→ ¯

2) Если A, B – формулы, то A B, A B, A B, A – формулы.

3) Если A – формула, содержащая X, где X – свободное предметное переменное, то XA

и XA – формулы.

30