7.3.Основные знания, формируемые при изучении темы «Функция»

Общие свойства функций, изучаемых в 9-летней школе

1. Область определения и область значений.

2. Нули функции.

3. Интервалы знакопостоянства (см. Прил.1).

4. Четность, нечетность.

5. Монотонность (большему значению аргумента соответствует большее значение функции) (см. Прил.1).

6. Наибольшее и наименьшее значение (без определения).

7. Выпуклость графика¹³

Схема изучения конкретной функции в основной школе

1. Рассматривается конкретная ситуация, математической моделью которой является данная функция.

2. Даётся определение, вводится аналитическая запись функции, исследуются входящие в формулу параметры.

3. Строится график функции, рассматривается влияние параметров на ее графическое изображение.

4. Выводятся основные свойства данной функции.

5. Организуется работа по использованию свойств функции при решении задач.

Основные типы задач, решаемых в 7 классе

при изучении темы «Понятие функции»

1. Функция задана формулой y=2x+7. Найти значения функции, соответствующие значению аргумента, равного 1; -20; 43.

2. Функция задана формулой y=2x+7. Найти значения аргумента, равного 10; 50; 120, найти соответствующее значение функции.

3. Функция задана формулой y=2x+7. Заполните таблицу:

   X	-6	-4	-3	2	5	6	7
   Y

4. Функция задана формулой y=2x+7. Заполните таблицу:

   X	-6		-3		5	6
   Y		-4		3			14

5. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой y=2x+7, где 0≤x≤4 с шагом 0,5.

6. Найдите область определения функции, заданной формулой

y=2x+7; y =.

7. У мальчика было 1050р. Он купил х карандашей по 10р. за штуку. Обозначив число рублей, оставшихся у мальчика, буквой y, задайте формулой зависимости y от х. Какова область определения этой функции?

8. Постройте график функции, заданной формулой y=2x+7, где - 3≤x≤4, предварительно составив таблицу значений функции с шагом 1.

9. По графику найти значение функции в точке 0; 4; - 5; 5,7.

10. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций y=2x+7, y=x+7, y= - 2x.

7.4. Введение понятия «Линейная функция»

Изучение функции в школе состоит из следующих основных частей:

- изучение понятия функции и способов ее задания;

- исследование функции элементарными средствами;

- изучение начал математического анализа и их применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления.

Свойства функций в основной школе устанавливаются по графику, на основе наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения учеником соответствующим теоретическим материалом.

Уровень требований к объему и глубине знаний учащихся о функциях постепенно повышается. Школьники постепенно учатся исследовать функцию на трех «языках»: графическом, словесном и символическом.

В 10 классе повторяются и обобщаются общие сведения о функциях. Основным понятиям – «числовая функция» и «способ задания числовой функции», даются более точные определения и обозначения, уточняются определения всех основных свойств функций и приемов их выявления элементарными средствами при сохранении графической интерпретации, появляется задача построения графика функции на основе ее исследования.

Линейная функция – это первая конкретная функция, с которой знакомят учащихся. При её изучении большое внимание уделяется свойствам и их прикладным аспектам.

Как при освоении теоретического материала, так и в ходе решения упражнений, рассматривается большое количество примеров реальных процессов, описываемых линейной функцией (в том числе и прямой пропорциональностью). В результате учащиеся должны прийти к пониманию того, что величины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида. Это важно при формировании представлений о математическом моделировании и практической значимости математических знаний.

При изучении линейной функции следует уделять внимание рассмотрению ее частных случаев при различных значениях параметров (к = 0, в = 0, к > 0, в > 0, к < 0, в < 0) и их сочетаний. Целесообразно оформить с учащимися соответствующую таблицу графиков функций.

Использование того факта, что графиком линейной функции является прямая, позволяет сразу посмотреть на нее «с другой стороны» - уравнением прямой линии является линейное уравнение с двумя переменными ах + ву + с=0. Это полезно не только для понимания идеи графического решения линейных уравнений и их систем, но и для установления связей с курсом геометрии.

Методические замечания по изучению темы «Линейная функция»

АЛГЕБРА - 7 (Ю.Н. Макарычев). Учащиеся знакомы с понятием «функция», алгоритмом нахождения ее значения в различных точках, построения графика по точкам.

Тема «Линейная функция» начинается с рассмотрения двух примеров, позволяющих подвести учащихся к пониманию нового понятия.

Пример 1. На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) от мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времен движения можно выразить формулой s = 50t + 20, где t > 0.

Пример 2. Ученик купил тетради по 3 коп. за штуку и ручку за 35 коп. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки (в копейках) буквой у.

Получим у = 3х + 35, где х – натуральное число.

В обоих примерах мы встречались с функциями, заданными формулами вида у = кх + в, где х – независимая переменная, к и в – числа. Такие функции называют линейными.

Определение. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = кх + в, где х – независимая переменная, к и в – некоторые числа.

Затем рассматривается вопрос о графике линейной функции:

- для функции у = 0,5х – 2 составляется таблица соответствующих значений х и у;

- по точкам строится график данной функции;

- уточняется, что все точки находятся на одной прямой, которая является графиком линейной функции у = 0, 5х – 2.

Утверждается, что

- «графиком линейной функции является прямая;

- для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух его точек, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую».

МАТЕМАТИКА – 8 (Г.В. Дорофеев). Так как учащиеся уже умеют строить график зависимости, заданной формулой у = кх + в (глава 4, пункты 4.1 и 4.2), он служит опорой при введении всех понятий и свойств.

Как при изучении теоретического материала, так и в ходе решения упражнений, рассматривается большое число примеров реальных процессов и ситуаций, описываемых линейной функцией (в том числе и прямой пропорциональностью). В результате учащиеся приходят к пониманию того, что величины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида.

Свойства функции вводятся на основе конкретных графиков. Так, например, учащимся уже известно, как располагается в координатной плоскости график уравнения у = кх + в в зависимости от знака коэффициента к, поэтому они могут сформулировать условие возрастания и убывания линейной функции.

В ходе анализа графиков (в качестве основы берется график роста мальчика от рождения до 12 лет, который уже рассматривался в пункте 5.1) учащиеся знакомятся еще с одним важным свойством линейной функции – описывать процессы, протекающие с постоянной скоростью.

Новой для учащихся является идея линейной аппроксимации, что позволяет связать функциональный материал с вопросами статистики. На конкретных примерах, опираясь на графики, учащиеся знакомятся с зависимостями, которые не являются линейными, но приближенно могут быть заданы линейными функциями. Это дает возможность делать некоторые прогнозы и получать приближенную числовую информацию. (Обозначенный материал не является обязательным для усвоения всеми учащимися.)

Через систему упражнений учащиеся продолжают вырабатывать навык построения графиков функций, заданных кусочно. При этом они знакомятся с новой ситуацией наличия у графика разрывов.

В результате изучения материала учащиеся должны:

- уметь строить графики линейных функций;

- определять, возрастающими или убывающими они являются;

- находить с помощью графиков промежутки знакопостоянства;

- в несложных случаях моделировать реальную ситуацию, описываемую линейной зависимостью (записывать соответствующую формулу, строить график этой зависимости, учитывая особенности области ее определения);

- интерпретировать графики реальных процессов, состоящие из отрезков, в том числе определять, на каком участке процесс протекал быстрее или медленнее.

763. Андрей планирует поработать во время летних каникул. У него есть две возможности: на работе А он будет получать 20 руб. в день; на работе В он в первый день получит 10 руб., а затем ежедневно будет получать по 20 руб. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег у от числа рабочих дней х для вариантов А и В. В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для 1х5. Существуют ли значения х, при которых значения у равны?

Для варианта А формула очевидна. При составлении формулы для варианта В учащиеся часто ошибаются, предлагая формулу у = 10 + 20х. В этом случае, чтобы показать характер зависимости у и х, целесообразно составить с учащимися таблицу.

День	1	2	3	…..	Х
Заработок(руб.)	10	10 + 20	10 + 20*2	…..	10 + 20(х -1)

В результате получается формула у = 20х – 10.

Прежде чем строить прямые, целесообразно обсудить, какой масштаб следует выбрать: по оси х удобно принять две клетки за единицу (один день), а по оси у - две клетки за 20 единиц (20руб.).

Ответ на последний вопрос задачи отрицательный. Следует обратить внимание учащихся на то, что его можно получить, не прибегая к построению графиков, ибо уже из полученных формул видно, что прямые параллельны, так как имеют одинаковые угловые коэффициенты.

765. На рис. 5.44 изображен график следующего процесса: ванну наполнили водой, которую слили через некоторое время. Опишите по графику, как протекал процесс. Для каждого прямолинейного участка графика определите, с какой скоростью наполнялась или опорожнялась ванна.

Решение. В течение первых 10 мин ванна наполнялась водой с постоянной скоростью. Затем вода полилась быстрее, и еще через 5 мин в ванну налилось 50л воды. После этого кран был выключен, и в течение 20 мин вода в ванну не поступала. Потом было открыто сливное отверстие, и за 10 мин вся вода вылилась.

График состоит из 4 отрезков. За первые 10 мин в ванну влилось 20л воды, то есть вода вливалась со скоростью 2 л/мин. За следующие 5 мин в ванну поступило 30 л воды, то есть ванна наполнялась со скоростью 6 л/мин.

АЛГЕБРА - 7 (К.С. Муравин, Г.К. Муравин). В главе 2 вводятся понятия функция, график функции («Функция – это правило…»). Далее, в параграфе «Функция у = кх» учащиеся знакомятся с алгоритмом построения графика функции; уделяется особое внимание понятию «угловой коэффициент». Понятие «область определения функции» не вводится, но на интуитивном уровне учащиеся знакомятся с ним.

Купили n карандашей по 3 рубля. Сколько заплатили за покупку?

Обозначим буквой Р стоимость покупки в рублях, тогда Р = 3 n.Формула задает функцию Р, значения которой равны произведению соответствующих значений аргумента n и числа 3. В этой задаче аргумент n может принимать только натуральные значения.

Общим для рассмотренных задач является то, что значения функции в каждой из них получаются умножением соответствующих им значений аргумента на число, отличное от нуля. Обозначим это число буквой к, а аргумент и функцию, как это принято в математике, буквами х и у. Получим общий вид рассматриваемых функций: у = кх, где к – число, отличное от нуля. Возьмем два отличных от нуля значения аргумента: х_1, х₂. Соответствующие им значения функции: у₁ = к х₁, у₂ = к х₂. Из этих равенств получаем к = , к =. Значит,=.

Таким образом, любые две пары соответствующих друг другу значений переменных х и у составляют верную пропорцию. Такие переменные называются пропорциональными. Число к в формуле у = кх называют коэффициентом пропорциональности.

Графиком функции у = кх, где к – некоторое число, является прямая, проходящая через начало координат.

Зная, что график функции у = кх – прямая, мы можем его построить, не составляя подробной таблицы. Для построения прямой достаточно знать две ее точки: одна из них – начало координат.

Значения функции у = 0х (к = 0) при всех значениях х равны нулю, значит, график этой функции совпадает с осью абсцисс.

От коэффициента к зависит угол, образованный в верхней полуплоскости графиком

у = кх. Коэффициент к называют угловым коэффициентом прямой у = кх.

Изучение темы «Линейная функция» начинается с рассмотрения конкретной задачи.

Задача. При отправлении телеграммы взимается плата 5 руб. за каждое слово и дополнительно - 20 рублей. Сколько рублей (n) следует уплатить за телеграмму, содержащую m слов?

Решение. Так как за m слов отправитель должен заплатить 5m рублей, то стоимость телеграммы в m слов равна 5 m + 20 рублей: n = 5 m + 20.

Например, если m = 15, то n = 95, если m = 27, то n = 155.

В обеих задачах мы встречались с функциями, заданными формулами вида у = кх + l, где к и l – некоторые числа, а у и х – переменные. В первой задаче к = 5, l = 20. Во второй к = -10, l = 45.

Определение. Функция, заданная формулой вида у = кх + l, где к и l – некоторые числа, называется линейной.

Рассматриваемая нами ранее функция у = кх является частным случаем линейной функции, так как при l = 0, формула примет вид у = кх.

Доказательство некоторых свойств линейной функции

Свойство знакопостоянства функции

а) Если а = 0, функция принимает постоянное значение и, следовательно, не меняет своего знака на всей области определения.

б) Если а > 0, то значения функции отрицательны при х<-в/а и положительны при х > -в/а.

в) Если а <0, то значения функции положительны при х <-в/а и отрицательны при х > -в/а.

Доказательство. б) Если а > 0, то в соответствии со свойством числовых неравенств, неравенство ах + в > 0 равносильно неравенству х > -в/а. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения этого пункта.

Свойство монотонности функции

Если а = 0, функция является постоянной. Если а > 0, функция строго возрастает, при а <0 - убывает.

Доказательство. Пусть х₁ >х₂. Тогда у(х₁) – у(х₂) = ах₁ +в – (ах₂ + в) = а(х₁ – х₂),следовательно, у(х₁) = у(х₂), если а = 0, у(х₁) > у(х₂), если а > 0, у(х₁) < у(х₂), если а <0.