Лекции - Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных / 18.Построение минимального остовного дерева (алгоритмы Прима и Крускала)

Задача о минимальном остовном дереве

Остовое дерево (каркас) связного неориентированного графа – связный ациклический подграф. Минимальное остовное дерево (MST) – остовное дерево с минимальным суммарным весом ребер.

Задача о ремонте сети дорог.

Два алгоритма:

• Краскала-Борувки

• Прима-Дейкстры

Алгоритм Краскала-Борувки

1. Сортируем ребра в порядке возрастания весов

2. Добавляем ребра в дерево в отсортированном порядке, так чтобы не образовывались циклы

Пример: 1. Порядок ребер 1-3 6-7 1-2 2-4 3-4 1-5 5-6 7-8 2-6 5-8 4-7

2. Берем ребра 1-3 6-7 1-2 2-4

3-4 не берем (образует цикл 1-2-3-4)

Берем 1-5 5-6 7-8

Отслеживание циклов

Компоненты связности графа образуют непересекающиеся множества. Ребро образует цикл, если соединяет вершины, принадлежащие одному множеству.

Для работы с множествами используются различные структуры данных. Необходима поддержка операций

MakeSet(x) – создать множество

FindSet(x) – найти множество

Union(x,y) – объединить два множества

Простейший вариант – массив с номерами компонентов. Лучший вариант – лес корневых деревьев, с использованием объединения по рангу и сжатием путей (Кормен). Сложность одной операции – O(log n)

Схема процедуры алгоритма Краскала

Пусть E[1..m][1..2] – массив ребер

for i:=1 to n do MakeSet(i);

Sort(E);

for i:=1 to m do

if FindSet(E[i][1])<>FindSet(E[i][2]) then begin

Print(E[i]);

Union (E[i][1],E[i][2]);

end;

Сложность – Ө(m log m)

Алгоритм Прима-Дейкстры

Начинаем построение с произвольной вершины. Далее на каждом шаге добавляем в дерево вершину, ближайшую к вершинам дерева, ранее не добавленную.

Пример:

1. Начинаем с вершины 1.

2. Добавляем вершину 3. 1-3

3. Добавляем вершину 2 1-2

4. Добавляем вершину 4 2-4

5. Добавляем вершину 5 1-5

6. Добавляем вершину 6 5-6

7. Добавляем вершину 7 6-7

8. Добавляем вершину 8 7-8

Процедура алгоритма Прима

D[1..n] – массив расстояний; P[1..N] – номер ближайшего соседа из дерева; V[1..N] – массив пометок.

//инициализация

V[1]:=true; for i:=2 to n do V[i]:=false;

for i:=1 to n do D[i]:=A[1,i];

for i:=1 to n do P[i]:=1;

//основной цикл

for i:=2 to n do

begin //поиск ближайшей вершины

min:=oo;

for i:=1 to n do

if not(V[i]) and (D[i]< min)

then begin min:=D[i]; m:=i end;

V[m]:=true; //обновление расстояний

for i:=1 to n

if not(V[i]) and (D[i] > A[i,m])

then begin D[i]:=A[i,m]; P[i]:=m end;

end; //Сложность – O(n2)