Лекции - Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных / 1.Введение в анализ алгоритмов. Понятие сложности алгоритмов. Классы сложности алгоритмов

Анализ алгоритмов

• Задачи анализа алгоритмов

• Понятие алгоритма

• Понятие алгоритмической задачи

• Понятия временной и объемной сложности алгоритма

• Порядок роста функции и его свойства

Анализ алгоритмов

Цели

• Оценить качество алгоритмов с помощью количественных критериев

• Сравнить различные алгоритмы для решения заданной алгоритмической задачи

Алгоритм - понятное и точное предписание исполнителю совершить последовательность действий, направленных на достижение поставленной цели.

Алгоритм имеет исходные данные (вход алгоритма) и выдает некоторый результат.

Алгоритмическая задача

• входные данные

• необходимый результат.

Алгоритм называют правильным, если на любом допустимом входе он заканчивает работу и выдает результат, удовлетворяющий требованиям задачи.

Пример: сортировка последовательности

Решение: Алгоритм сортировки прямыми вставками

For j:=2 to N do

begin

{добавить a[j] к отcортированной части массива A[1..j-1]}

k:=A[j];

i:=j-1;

while (i>0) and (A[i]>k) do

begin

A[i+1]:=A[i];

i:=i-1

End;

A[i+1]:=k

End

Сложность алгоритмов

• Временная сложность алгоритма — количество элементарных шагов, которые он выполняет.

• Объемная сложность алгоритма — количество оперативной памяти, необходимой для его выполнения.

for j:=2 to N do begin k:=A[j]; i:=j-1; while (i>0) and (A[i]>k)do begin A[i+1]:=A[i]; i:=i-1 end; A[i+1]:=k end

a b c d e

N N-1 Σtj Σ(tj-1) N-1

Сложность сортировки

• Лучший случай (tj=1) T(n) = a1n+b1

• Худший случай (tj=j) T(n) = a2n2+b2n+c2

• Средний случай (tj=j/2) T(n) = a3n2+b3n+c3

Порядок роста функции

Оценка сверху

Оценка снизу

Классы сложности алгоритмов

Труднорешаемые задачи

• Не найден полиномиальный алгоритм.

Класс NP – задачи, проверяемые за полиномиальное время.

Примеры труднорешаемых задач

• Задача о рюкзаке

Задан набор n предметов с массами mi и стоимостями ci. Максимальная масса рюкзака M. Выбрать подмножество предметов так, чтобы Σ mi ≤ M и Σ сi → max.

• Задача коммивояжера

Имеется n городов, nxn матрица A = (aij) содержит попарные расстояния между городами. Найти замкнутый маршрут, содержащий все города по одному разу, и имеющий минимальную длину.