§ 11. Четные и нечетные функции. Периодические функции

Определение 1. Функцияназываетсячетной (нечетной), если вместе с каждым значением переменнойзначение –хтакже принадлежити выполняется равенство

(11.1)

Таким образом, функция может быть четной или нечетной только тогда, когда ее область определения симметрична относительно начала координат на числовой прямой (числа х и –ходновременно принадлежат). Например, функцияне является четной и нечетной, так как ее область определенияне симметрична относительно начала координат.

Функция четная, так каксимметрична относительно начала координат и.

Функция нечетная, так каки.

Функция не является четной и нечетной, так как хотяи симметрична относительно начала координат, равенства (11.1) не выполняются. Например,.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, так как если точкапринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как еслипринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику.

При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.

Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.

г) Если f– четная функция на множествеХ, а функцияg определена на множестве, то функция– четная.

д) Если f– нечетная функция на множествеХ, а функцияg определена на множествеи четная (нечетная), то функция– четная (нечетная).

Доказательство. Докажем, например, б) и г).

б) Пусть и– четные функции. Тогда, поэтому. Аналогично рассматривается случай нечетных функцийи.

г) Пусть f – четная функция. Тогда.

Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.

Теорема 2. Любую функцию, заданную на множествеХ, симметричном относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Доказательство. Функциюможно записать в виде

.

Функция – четная, так как, а функция– нечетная, поскольку. Таким образом,, где– четная, а– нечетная функции. Теорема доказана.

Определение 2. Функцияназываетсяпериодической, если существует число, такое, что при любомчислаитакже принадлежат области определенияи выполняются равенства

.

Такое число Tназываетсяпериодом функции.

Из определения 1 следует, что если Т – период функции, то и число –Т тоже является периодом функции (так как при заменеТ на –Т равенство сохраняется). С помощью метода математической индукции можно показать, что еслиТ– период функцииf, то и, тоже является периодом. Отсюда следует, что если функция имеет период, то она имеет бесконечно много периодов.

Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.

Теорема 3. ЕслиТ– основной период функцииf, то остальные периоды кратны ему.

Доказательство. Предположим противное, то есть что существует периодфункцииf (>0), не кратныйТ. Тогда, разделивнаТ с остатком, получим, где. Поэтому

,

то есть – период функцииf, причем, а это противоречит тому, чтоТ– основной период функцииf. Из полученного противоречия следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Хорошо известно, что тригонометрические функции являются периодическими. Основной период иравен,и. Найдем период функции. Пусть- период этой функции. Тогда

(так как.

Отсюда

илиилиили.

Значение T, определяемое из первого равенства, не может быть периодом, так как зависит отх, т.е. является функцией отх, а не постоянным числом. Период определяется из второго равенства:. Периодов бесконечно много, принаименьший положительный период получается при:. Это – основной период функции.

Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле

Заметим, что если T– рациональное число, тоиявляются рациональными числами при рациональномхи иррациональными при иррациональномх. Поэтому

при любом рациональном числе T. Следовательно, любое рациональное числоTявляется периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомnсколь угодно близким к нулю).

Теорема 4. Если функцияf задана на множествеХи имеет периодТ, а функцияg задана на множестве, то сложная функциятоже имеет периодТ.

Доказательство. Имеем, поэтому

,

то есть утверждение теоремы доказано.

Например, так как cos x имеет период, то и функцииимеют период.

Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими.