§ 9. Арифметические операции над функциями. Композиция функций

Определение 1. Пусть функцииfиg заданы на множестве.Суммой функцийfиg называется функция, значение которой в точкеопределяется как сумма значений функцийfиg в этой точке, то есть

.

Аналогично определяется разность

,

произведение

,

частное функций, если,

.

Определение 2. Пусть действительная функцияf задана на множествеХ, а действительная функцияg – на множестве. Тогда существует композиция отображений, которая является действительной функцией, заданной на множествеХ и называемой композицией действительных функцийfиg илисложной функцией.

Заметим, что сложную функцию можно записать в виде цепочки функций. Переменнуюу в этом случае обычно называютпромежуточной переменной. Заметим также, что термин «сложная функция» характеризует не сложность функции, а способ ее задания. Например, функцияили- сложная функция, а тождественная ей функцияуже не является сложной.

Пример 1. Если, то,.

Может получиться так, что множество не является подмножеством множестваY. В этом случае сложная функция определена лишь для техх, для которых.

Пример 2. Пусть. Тогда. Здесьзадана на множествезадана наи. Сложная функциярассматривается длях таких, что, то есть.

Пример 3. Функцииине определяют функции, так какопределена для, адля всех.

Пример 4. (Решить самостоятельно). Пустьи. Найти следующие функции и указать их области определения:.

§ 10. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции

Определение 1. Функция, заданная на множествеХ, называетсяограниченной сверху на этом множестве, если существует числоМ, такое, что. Функция, заданная на множествеХ, называетсяограниченной снизу на этом множестве, если существует числоМ, такое, что. Функция, заданная на множествеХ, называетсяограниченной на этом множестве, если существуют числаи, такие, что.

Иными словами, функция ограничена на множествеХ, если на этом множестве она ограничена и сверху, и снизу.

Например, функция ограничена сверху на множествеR, так как, функцияограничена снизу наR, так как, функцияограничена наR, так как. Ограниченными являются также функциии, так как.

Свойства ограниченных функций:

1) если функции fиgограничены на множествеХ, то и функцииитоже ограничены на множествеХ;

2) если функция ограничена сверху, то функцияограничена снизу;

3) если функция положительна на множествеХи ограничена на нем снизу положительным числом, то функцияограничена наХ.

Доказательство. 1) В силу ограниченности функцийfиgна множествеХ найдутся числаи,и, такие, чтои. А тогдаи- ограниченные наХ функции. Чтобы доказать ограниченность функции, положим. Тогда имеют место неравенстваи, из которых следует, что, а это и означает ограниченность функции.

2) В силу ограниченности функции f сверху найдется числоМ, такое, что. Тогда, что и означает ограниченность функцииснизу.

3) По условию , поэтомуограниченность функции.

Например, функция ограничена на множествеR действительных чисел, так как.

Чтобы дать определение неограниченной сверху или снизу функции, нужно сформулировать отрицание соответствующей части определения 1.

Определение 2. Функцияназываетсянеограниченной сверху на множествеХ, если не существует числаМ, такого, чтодля любого, то есть для любого числаМнайдется число, такое, что.

Функция называетсянеограниченной снизу на множествеХ, если для любого числаМнайдется число, такое, что.

Докажем, например, что функция неограниченна на множествесверху. Возьмем произвольное числои покажем, что, такое, что.

Для этого, очевидно, достаточно взять , например,.

Если функция ограничена на множествеХ, то множествоограничено, поэтому имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы. Их обозначаютисоответственно и называют точной верхней границей и точной нижней границей функциина множествеХ.

Определение 3. а) Функцияназываетсявозрастающей на множествеХ, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е., таких, что, имеем.

б) Функция называетсяубывающей на множествеХ, если.

в) Функция называетсянеубывающей на множествеХ, если.

г) Функция называетсяневозрастающей на множествеХ, если.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие –строго монотонными функциями.

При исследовании функций на монотонность полезны следующие утверждения.

Теорема.а) Если функцииf иg возрастают (убывают) на множествеХ, то и функцияf+g возрастает (убывает) наХ.

б) Если на множествеХ, тонаХ.

в) Если функции fиg неотрицательны на множествеХи возрастают (убывают) на этом множестве, то их произведениенаХ.

г) Если функция fположительна на множествеХи возрастает (убывает), тонаХ.

д) Если функция на множествеХ, а функцияна множестве, то функцияна множествеХ.

Доказательство. Докажем, например, а) и д).

а) Пусть функции f иg возрастают на множествеХ и, причем. Тогдаи поскольку неравенства одинакового смысла можно складывать, то, т.е. функцияf+g возрастает.

д) Пусть функция убывает на множествеХ, а функцияубывает на множестве,, причем. Тогдаи, так как, т.е. функциявозрастает на множествеХ.

Остальные утверждения теоремы доказать самостоятельно.

Теорема доказана.

Отметим, что прибавление постоянной величины к функции и умножение функции на положительную постоянную величину не меняет характера монотонности.

Пример. Докажем, что функцииивозрастают на промежутке.

Доказательство. Функциявозрастает на промежутке. Тогда по свойству в)ина,и, поэтому по свойству а) возрастает и функция.

Для функции доказательство проведем методом от противного. Пусть. Предположим противное, т.е. что. Тогда, в силу возрастания функции,, т.е., что противоречит неравенству. Из полученного противоречия следует, что, т.е. функциявозрастает на промежутке.