§ 7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости

Определение 1. Пусть дана некоторая числовая последовательность

. (7.1)

Если из этой последовательности выписывать не все члены подряд, а с пропуском, то получим новую последовательность

(7.2)

которая называется частичной последовательностью или подпоследовательностьюпо отношению к последовательности (7.1).

Порядковый номер члена в (7.2) определяется уже не числомn, а числомkи. Очевидно, что, причемтогда и только тогда, когда в (7.2) включены все первыеk членов последовательности (7.1) без пропусков.

Теорема 1. Если последовательность (7.1) имеет своим пределом числоа, то любая ее подпоследовательность (7.2) тоже имеет предел, равныйа.

Доказательство. Пусть последовательность (7.1) сходится к числуа. Это значит, что для любогонайдется номерN, такой, что для всех значенийвыполняется неравенство. Поскольку, то для всех будет, т.е.. Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему удобно применять при доказательстве того, что последовательностьне имеет предела. Для этого достаточно найти две ее подпоследовательности, имеющие разные пределы. Например, для последовательности, поэтому данная последовательность предела не имеет.

В приведенном примере сама последовательность предела не имеет, однако существуют подпоследовательности, имеющие конечный предел. Будет ли так для любой последовательности? Для неограниченной последовательности нет, например, из последовательности нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Для ограниченных же последовательностей справедлива

Теорема 2 (Больцано (1781-1848)-Вейерштрасса (1815-1897)). Из любой ограниченной последовательности всегда можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательностьограничена. Тогда найдется отрезок, такой, чтоРазделимпополам точкойи выберем тот из частичных отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности. Если такими являются оба отрезка, то возьмем любой из них. Обозначим его. Разделимпополам точкойи черезобозначим ту из его половин, которая содержит бесконечно много членов последовательности. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему вложенных отрезков, так какпри. По принципу вложенных отрезков существует точкас, принадлежащая всем этим отрезкам. Пусть– любой член последовательности,– любой член последовательности,и т.д. Так мы построим подпоследовательностьпричем, так как, а. Теорема доказана.

При определении сходящееся последовательности мы использовали число а(предел последовательности). Нельзя ли определить, сходится последовательность или нет, по виду ее членов, не используя никаких других чисел? Оказывается можно. Справедлива

Теорема 3 (критерий Коши или принцип сходимости). Для того чтобы последовательностьбыла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любогосуществовал такой номерN, чтодля всех.

Без доказательства.

Определение 2. Последовательность, удовлетворяющая условию теоремы Коши, т.е. последовательность такая, что для любогосуществует такой номерN, чтодля всех, называетсяфундаментальной.

Поэтому теорему 3 можно сформулировать так:

Теорема . Для того чтобы последовательностьбыла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Рассмотрим пример применения теоремы Коши.

Пусть . Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной и, следовательно, расходится в силу теоремы Коши.

Рассмотрим . Тогда

для всех . Это означает, что для, какой бы номерN мы ни брали, неравенстводля всехне выполняется, т.е. последовательностьне является фундаментальной и, значит, расходится.