§ 7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Гильом Франсуа де Лопиталь (1661-1704) – французский математик.

При вычислении пределов, как известно, приходится раскрывать неопределенности разных видов. В этом параграфе мы познакомимся с правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей вида и.

Теорема 1. Пусть функцииинепрерывны в точке, дифференцируемы в некоторой проколотой окрестноститочкии. Пусть, кроме того,для всех. Тогда, если существует, то существует и, причем

=. (7.1)

Доказательство. Рассмотрим интервал− правую половину окрестности. Пусть. Заметим, что на отрезкек функциямиможно применить теорему Коши (инепрерывны на, дифференцируемы вв). По теореме Коши существует точкатакая, чтоили, так как,. Если, то, очевидно, и. По условию теоремысуществует, поэтому существует ии эти пределы равны, т.е.=. Заменив во втором пределес нах, получим=.

Заметим, что мы рассмотрели случай , т.е. в последних пределахсправа.

Аналогично рассматривается интервал . Тем самым равенство (7.1) и теорема доказаны.

В теореме 1 − конечная точка. Рассмотрим теперь случай=.

Теорема 2. Пусть функцииидифференцируемы на луче, причем, и пусть. Тогда, если существует, то существует и, причем

=. (7.2)

Доказательство. Положим,,. Тогда функцииинепрерывны в точкесправа. Кроме того,,, т.е. функцииидифференцируемы в интервале, причем. Поэтому=│теорема 1│=. Теорема доказана.

Для случая неопределенности вида справедлива

Теорема 3. Пусть функцииидифференцируемы на луче, причем, и пусть. Тогда, если существует, то существует и, причем

=.

Без доказательства.

Замечания. 1) Теоремы 1, 2, 3 справедливы во всех случаях, когда, аконечен или бесконечен.

2) Теоремы 1, 2, 3 называют правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей.

3) Если при вычислении предела по правилу Лопиталя снова получается неопределенность вила или, то можно еще раз применить правило Лопиталя и т.д.

4) Применение правила Лопиталя целесообразно комбинировать с известными из главы Iспособами раскрытия неопределенностей. В этом случае результат получается быстрее.

5) Неопределенности вида можно преобразовать к видуилии затем применить правило Лопиталя.

Примеры.

1. Для имеем

функция – бесконечно большая более высокого порядка при, чемпри любом натуральном значенииn.

Поскольку при , тои это утверждение остается справедливым для, где– любое число.

2. Для и– бесконечно большая более высокого порядка при, чем любая логарифмическая функция.

Таким образом, показательная функция растет быстрее, а логарифмическая функция медленнее, чем степенная.

3) .