§ 11. Асимптоты кривой

Понятие асимптоты кривой вводится для кривых, ветви которых уходят в бесконечность. Это может быть в случаях, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.

Определение. Прямая линия называетсяасимптотой кривой, если расстояние от точкиМ, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точкиМ вдоль какой-нибудь части кривой в бесконечность.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты.

у

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . РасстояниеМАот точкидо прямойравно.тогда, когдаили. Чтобы прямаябыла асимптотой кривой, нужно, по определению, чтобы приили прифункциястремилась кили.

А М

х

О

Таким образом, чтобы найти вертикальные асимптоты, нужно исследовать поведение функции вблизи точек разрыва и границ области определения.

Пример 1. Найдем вертикальные асимптоты кривой.

Решение. Функцияопределена и непрерывна всюду, кроме точки. Исследуем поведение функции прии:,. Отсюда следует, что прямая(осьОу) – вертикальная асимптота. Кривая приближается к ней и слева, и справа.

2. Горизонтальные асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид . РасстояниеМВот точкидо прямойравно. Чтобы это расстояние стремилось к нулю приили, нужно, чтобыили.

у

В у =А

М

О х

Таким образом, горизонтальные асимптоты могут быть только у кривых, заданных на неограниченном промежутке. Для их отыскания нужно найти пределы функции на бесконечности.

Пример 2. Найдем горизонтальные асимптоты кривой. Построим эту кривую.

Решение. Имеем, поэтому прямая(осьОх) является горизонтальной асимптотой кривойи при, и при.

Так как, то функция убывает на интервалах и. Поскольку, топриипри, откуда следует, что– интервал выпуклости вверх кривой, а– интервал выпуклости вниз. Учитывая, что– вертикальная асимптота (см. пример 1), строим график.

у

О х

3. Наклонные асимптоты.

Наклонная асимптота имеет уравнение , где. Чтобы найти постоянныеk иb, вычислим расстояние от точкидо прямой. Это расстояние равноMN, где отрезокMN перпендикулярен прямой. ПустьМК– перпендикуляр к осиОх. Тогда,

у

К

N M

О х

, где. Угол, поэтомуприили. Таким образом, условие

(*)

является необходимым и достаточным для того, чтобы прямая была асимптотой кривой. Найдем постоянныеk иb. Из условия (*) следует, что

или,

откуда

. (11.1)

Из условия (*) следует также, что .

Таким образом, чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно найти коэффициент k по формуле (11.1), подставить его в формулу

(11.2)

и найти коэффициент b. Если пределы в (11.1) и (11.2) существуют и конечны, причем, то существует и наклонная асимптота, ее уравнение.

Пример 3. Найдем наклонные асимптоты кривой.

Решение. Имеем, то естьи при, и при;. Таким образом,– наклонная асимптота данной кривой и при, и при.