§ 10. Выпуклые кривые. Точки перегиба кривой

Определение 1. Криваяназываетсявыпуклой вверх(выпуклой вниз) в точке, если в некоторой окрестности точкиона лежит ниже (соответственно, выше) касательной. Если кривая выпукла вверх (вниз) в каждой точке некоторого промежутка, то она называется выпуклой вверх (вниз) на этом промежутке.

у

В точке кривая выпукла вверх, в точкевыпукла вниз.

А

В

О х

Теорема 1 (достаточные условия выпуклости кривой). Пусть функцияопределена, непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точкии имеет в этой точке 2-ю производную. Тогда, если, то криваявыпукла вниз в точке, если, то в этой точке криваявыпукла вверх.

Доказательство. Запишем уравнение касательной к кривойв точкев видеи рассмотрим функцию. Имеем. Если, то и, и по второму достаточному условию экстремума функцияимеет в точкеминимум. Поскольку, то в некоторой окрестности точкидля всех, то естькриваявыпукла вниз в точке.

Если , то и, и аналогично показывается, чтоиз некоторой окрестности точки, поэтомув этой проколотой окрестностикриваявыпукла вверх в точке. Теорема доказана.

Определение 2. Точканазываетсяточкой перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то есть если в некоторой окрестности точкидля всехвсе точки кривой лежат по одну сторону от касательной, а для всех– по другую.

у

Точка – точка перегиба кривой.

А

О х

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Для того, чтобы криваяимела перегиб в точке, необходимо, чтобы в точке2-я производная функциилибо не существовала, либо была равна нулю.

Доказательство. Предположим противное, то есть что– точка перегиба кривойи существует, причем. Тогда либои по предыдущей теореме кривая выпукла вниз в точке, либои кривая выпукла вверх в этой точке. И в том, и в другом случае кривая лежит по одну сторону от касательной в некоторой окрестности точки, то есть эта точка не является точкой перегиба. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 3 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функциядифференцируема в некоторой окрестноститочки, на интервалахисуществует 2-я производная, причем она сохраняет знак на каждом из этих интервалов. Тогда, если наизнаки 2-ой производной различны, то точкаявляется точкой перегиба кривой, если одинаковы, то перегиба нет.

Доказательство. Пусть– уравнение касательной в точкек кривой. Рассмотрим функцию. Применим к разностиформулу Лагранжа:, где– точка междухи. Получим. Вновь применим формулу Лагранжа, теперь к разности, где– точка междуи. Таким образом,. Заметим, что точких и

находятся по одну сторону от точки , поэтому. Следовательно, знакзависит от знака. Еслиимеет разные знаки на интервалахи, тоимеет

•

х

• • •

•

• • •

разные знаки, когда и, т.е.меняет знак при переходе через точку. Это означает, что криваялежит с одной стороны от точкивыше, а с другой стороны – ниже касательной, т.е.– точка перегиба.

Если же на интервалах иимеет один и тот же знак, тоимеет один знак,тоже сохраняет знак на интервале, поэтому точкане является точкой перегиба. Теорема доказана.

Сформулируем правило отыскания точек перегиба кривой . Нужно:

1. найти область определения ;

2. вычислить ;

3. найти точки из , в которыхне существует или равна нулю;

4. исследовать знак слева и справа от каждой из найденных точек;

5. сделать вывод об этих точках на основании достаточного условия точки перегиба.

Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз функции.

Р

Поэтому точка , то есть точка– точка перегиба кривой,–

ешение. Область определенияне существует в точке, причем. Отметим точки 0 ина числовой прямой и определим знакна каждом из двух полученных интервалов области определения:. – +

0

Поэтому точка , т.е. точка– точка перегиба кривой,–интервал выпуклости вверх кривой,– интервал выпуклости вниз кривой.

Замечание. Определение выпуклой кривой нами было дано с помощью касательной к кривой, т.е. соответствующая функция предполагалась дифференцируемой. Есть и другие, более общие определения, не предполагающие дифференцируемости функции. Теоремы при этом доказываются несколько более сложно.