§ 9. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Определение 1. Точканазываетсяточкоймаксимума (минимума) функции, если существует окрестность, такая, чтодля всех. Точки максимума и минимума функции называются ееточками экстремума, а значения функции в этих точках –экстремумами функции.

Заметим, что точкой экстремума функции может быть только внутренняя точка промежутка, в котором функция определена, поскольку указанные в определении неравенства должны выполняться в некоторой окрестности точки .

–точки максимума, – точки минимума функции.

у

О х

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Для того чтобы дифференцируемая функция имела в точкеэкстремум, необходимо выполнение условия .

Доказательство. Пусть – точка экстремума дифференцируемой функции. Тогда найдется окрестностьточки, в которойбудет наибольшим или наименьшим значением функции. Поэтому по теореме Ферма. Теорема доказана.

Определение 2. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками функции.

Из доказанной теоремы следует, что точками экстремума функции могут быть только стационарные точки и точки, в которых производная не существует. Такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими точками функции.

Заметим, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для функции критической является стационарная точка, так каксуществует для всехх, . Но точкане является точкой экстремума этой функции, так как функция всюду возрастает.

Таким образом, нам надо найти условия, при которых критическая точка является точкой экстремума – достаточные условия экстремума. Есть два типа таких условий. Одни используют производную 1-го порядка, другие – производную 2-го порядка.

Рассмотрим достаточное условие экстремума, опирающиеся на 1-ю производную функции.

Предположим, что функция непрерывна в окрестностикритической точкии в проколотой окрестностисуществует конечная производная , сохраняющая определенный знак как слева, так и справа от точки. Тогда возможны следующие три случая:

1) приипри, то естьпри переходе через точкуменяет знак с плюса на минус. В этом случае, в силу теоремы 3 § 8, функциявозрастает в промежуткеи убывает в промежутке, поэтому значениеявляется наибольшим в окрестности, то есть– точка максимума функции.

2) приипри, то естьпри переходе через точкуменяет знак с минуса на плюс. Рассуждая как в 1-ом случае, приходим к выводу, что– точка минимума функции.

3) При переходе через точку не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точкеэкстремума нет.

Таким образом, достаточное условие экстремума состоит в следующем:

если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум. При перемене знака с плюса на минус в точкефункция имеет максимум, с минуса на плюс – минимум. Если же при переходе через точкупроизводная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.

Сформулируем правило исследования функции на экстремум. Нужно:

1. найти область определения функции;

2. найти производную;

3. найти критические точки функции из области определения, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует;

4. определить знак производной слева и справа от каждой из критических точек;

5. на основании достаточного условия экстремума сделать выводы относительно каждой из критических точек.

Пример 1. Найдем экстремумы функции .

Решение. Область определения ,существует во всех точках области определения,,,, – +

0

т.е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому– точка минимума функции,– минимум функции.

Достаточное условие экстремума функции, опирающееся на 2-ю производную, формулируется следующим образом.

Теорема 2. Пусть и в точкесуществует 2-я производная. Тогда, если, то– точка минимума функции, а если, то– точка максимума функции.

Доказательство. Пусть . Так какесть производная функции, то по теореме 4 § 8 функцияв точкевозрастает, т.е. вблизи точкислева, а справа, т.е. при переходе через точкупроизводнаяменяет знак с минуса на плюс. Поэтому по первому достаточному условию экстремума функции точка− точка минимума функции.

Если , то функцияв точкеубывает, меняя знак с плюса на минус, поэтому точка− точка максимума функции. Теорема доказана.

Замечание. Доказанная теорема позволяет исследовать функции на экстремум только в стационарных точках, т.е. в точках, в которых первая производная равна нулю. Вопрос остается открытым и в том случае, когда вторая производная равна нулю. В этом случае нужно либо изучать поведение высших производных, либо пользоваться правилом, опирающимся на первую производную.

Пример 2. Найдем экстремумы функции .

Решение. Область определения функции ,существует всюду в,– точка максимума,;– точки минимума,.

Остановимся теперь на задаче о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса она принимает наи свое наибольшее, и свое наименьшее значения. Однако в теореме Вейерштрасса ничего не говорится о том, как искать эти значения. Ясно, что эти значения могут достигаться как во внутренних точка отрезка, так и на его концах. Если наименьшее (наибольшее) значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то эта точка обязательно будет точкой минимума (максимума) функции. А точки экстремума функции обязательно находятся в критических точках. Поэтому достаточно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках, не исследуя эти точки на экстремум.

Таким образом, правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке состоит в следующем. Нужно:

1. найти производную данной функции;

2. найти критические точки, принадлежащие данному отрезку;

3. вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;

4. из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. Имеем . Из найденных стационарных точек функции только. Других критических точек нет, так как производная определена всюду. Находим,,. Видим, что,.