§ 23. Неявные функции, их дифференцирование

Пусть дано уравнение вида

, (23.1)

в левой части которого имеем функцию двух переменных, заданную в какой-нибудь области на плоскости, например, в прямоугольнике . Если для каждого значениясуществует одно значение, которое вместе сх удовлетворяет уравнению (23.1), то уравнение (23.1) определяет на отрезкефункцию. В этом случае говорят, что уравнение (23.1) определяетнеявную функцию на отрезке. Заметим, что термин «неявная» функция относится только к способу ее задания. Например, функциязадана явно, а эта же самая функция, определяемая уравнением, задана неявно.

Из определения неявной функции следует, что если ее подставить в уравнение (23.1), то получится тождество относительно х на:.

Понятие неявной функции распространяется на случай функции от любого числа переменных.

Пусть функция -й переменной определена на некотором множестве точек пространстваи пусть на некотором множествесуществует функция, при подстановке которой вместоу в уравнение

(23.2)

получается на Е тождество:. Тогда говорят, что функциязадана неявно на множествеЕ уравнением (23.2).

Например, уравнение определяет неявную функциюна всей плоскости, так как если вместоz подставить эту функцию в уравнение, то получится тождество.

При вычислении производной неявной функции, определяемой уравнением , будем рассуждать так. Подставив неявную функциюв это уравнение, получим тождество. Дифференцируя это тождество похи считаяу функцией отх, получим по правилу дифференцирования сложной функции:, отсюда находим.

Пример 1. Найдем 2-ю производную неявной функции, определяемой уравнением.

Решение. Сначала найдем, дифференцируя данное уравнение пох и считаяу функцией отх:. Чтобы найти, продифференцируем, считаяу функцией отх:

= подставим вместонайденное выше выражение=

=

.

Аналогичные рассуждения проводятся и при вычислении частных производных неявной функции нескольких переменных. Например, если уравнение определяет неявную функцию, то имеем тождество, дифференцируя которое пох и поу, получим:

откуда находими. Если нужно найти производные 2-го порядка, то полученные тождества дифференцируем еще раз и т.д.

Пример 2. Найдем производные 2-го порядка от неявной функции, определяемой уравнением.

Решение. Имеем

.