§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Определение 1. Точканазываетсяточкой максимума (точкой минимума) функции, если существует такая окрестность точки, для всех точеккоторой выполняется неравенство

или(20.1)

(соответственно, или.

Для функций большего числа переменных точки максимума и минимума определяются аналогично.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функцияимеет в точкеконечные частные производные и эта точка является точкой экстремума, то обе частные производные в точкеравны нулю.

Доказательство. Пусть функцияв точкеимеет максимум. Зафиксируем значение, тогда функциябудет функцией одной переменнойх, для которой в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство, т.е.− точка максимума функции одной переменной. Тогда должно быть.

Аналогично показывается, что .

Теорема доказана.

Аналогичная теорема справедлива и для функции большего числа переменных.

Таким образом, экстремум может быть только в тех точках, в которых частные производные равны нулю или не существуют, т.е. в критических точках. Но не всякая критическая точка является точкой экстремума. Установим достаточные условия существования экстремума для функции двух переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Если функцияв некоторой окрестности точкиимеет частные производные до второго порядка включительно, причем,, а вторые частные производные непрерывны в точке, то функцияв этой точке:

1) при имеет максимум, еслии минимум, если;

2) при не имеет экстремума.

Без доказательства.

Таким образом, для отыскания точек экстремума функции двух переменных нужно вычислить ее частные производные, из системы уравненийнайти стационарные точки, вычислить значения вторых производных в этих точках и проверить знак. Если, то прив стационарной точке – минимум функции, при− максимум. Если, то стационарная точка не является точкой экстремума. Если, то исследовать стационарную точку на экстремум нужно с помощью производных высших порядков.

Пример 1. Исследуем на экстремум функцию.

Решение. Имеем,,т.е. стационарная точка одна:. Поскольку, то– точка экстремума функции, причем в этой точке функция имеет максимум, так как,.

Пусть теперь функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областиD. Тогда по теореме Вейерштрасса она принимает в какой-то точкеобласти наибольшее значение и в точке– наименьшее значение. Еслиили(или обе точки) – внутренние, то они являются точками экстремума функции. Кроме того, наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать и на границе областиD.

Таким образом, нужно найти значения функции в критических точках и сравнить их со значениями функции на границе D. Наибольшее (наименьшее) из полученных значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой областиD.

Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функциив треугольнике, ограниченном сторонами.

Р

3 А

критические точки функции. Имеем ,. Частные производные существуют в каждой точке, поэтому достаточно найти стационарные точки функции,

ешение. Для наглядности рассуждений построим данный треугольник. Найдем

у

(D)

В

О 3

х

т.е. решить систему уравнений

. Внутри области лежит лишь точка(так как на сторонеАВ находится точка), которая и является стационарной точкой функции. .

Изучим поведение функции на границе треугольника. На сторонах ОА иОВ, очевидно, , на сторонеАВ , поэтому, . Из подчеркнутых значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения:,.