Глава 3. Неопределенный интеграл

§ 1. Первообразная функция, неопределенный интеграл, его основные свойства

В главе 2 мы решали задачи, связанные с отысканием производной данной функции. Теперь будем заниматься задачами, в которых требуется применение обратной операции, то есть по данной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Операцию восстановления функции по ее производной будем называть интегрированием, а раздел математического анализа, в котором изучается эта операция и ее приложения –интегральным исчислением функции одной переменной.

Примеры практических задач, в которых применяется операция интегрирования: дана скорость движения тела, требуется найти его закон движения, то есть зависимость пройденного пути от времени; дано ускорение, требуется найти скорость движения тела; и другие.

Перейдем теперь к точным определениям.

Определение 1. Пусть на некотором промежуткеХ задана функция. Функцияназываетсяпервообразнойдля функциина этом промежутке, если для всех

.

Заметим, что термин «первообразная» был введен французским математиком Ж.Л. Лагранжем (1736-1813).

Легко проверить, что для функций ипервообразными наR являются функцииисоответственно.

Теорема. Если функцияимеет на промежуткеХ первообразную, то и все функции видабудут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразнаядля функции,, может быть представлена в виде, гдеС– некоторая постоянная.

Доказательство. По определению первообразной. Поскольку, то– первообразная дляна промежуткеХ.

Пусть теперь – любая первообразная для функциинаХ. ТогданаХ и согласно условию постоянства функции на промежутке (см. главу 2), то есть, где. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию, чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. Выражениеисчерпывает все семейство первообразных функций для.

Определение 2. Если– первообразная для функции, то выражение, гдеС – произвольная постоянная, называетсянеопределенным интеграломот функциии обозначается символом.

Это обозначение ввел в 1675 году немецкий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646-1716).

Таким образом, по определению, , где– первообразная для функции, аС – произвольная постоянная.

Функция называетсяподынтегральной функцией, произведение–подынтегральным выражением, переменнаях–переменной интегрирования, символ– знаком интеграла.

Из определения неопределенного интеграла вытекают его основные свойства.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению, то есть .

Действительно, по определению неопределенного интеграла имеем .

2. Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть

. (*)

Поскольку , то эту формулу можно записать в виде

.

Формула (*) непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку функция является первообразной для.

Таким образом, из свойств 1-2 следует, что символы иd взаимно уничтожаются, только во 2-ом случае кнадо прибавить произвольную постояннуюС.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, то есть если , то

. (**)

Действительно, , то есть левая и правая части равенства (**) являются множествами всех первообразных для одной и той же функции, значит, они равны.

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:

.

Доказательство аналогично доказательству свойства 3. Это свойство справедливо и для любого конечного числа функций.

Таблица основных интегралов

1. . 8..

2. . 9..

3. . 10..

4. . 11..

5. . 12..

6. . 13..

7. , в частности,.

Заметим, что переменную х, входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулыможно записатьи т.д.

Доказываются эти формулы по определению неопределенного интеграла. Докажем, например, формулу 4. Найдем . Если, то. Если, то. Таким образом, формула 4 справедлива длях, принадлежащих любому промежутку, не содержащему нуля.

Вычисление интегралов путем непосредственного использования таблицы простейших интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием. При этом часто приходиться производить преобразования подынтегральной функции, чтобы получить табличные интегралы.

Примеры. Вычислим интегралы: 1); 2); 3).

Решение.1).

2) .

3) .

Для вычисления более сложных интегралов применяются различные методы интегрирования или используются математические справочники, содержащие таблицы сложных интегралов.