Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Чувашский государственный университет им И.Н. Ульянова"
Дополнительные главы математики.
Типовой расчет.
Выполнил: ст. гр. МЭЭ-03-13
Нестерин А.А.
Проверила: Картузова Т.В.
Чебоксары 2014 г.
Часть I.
Дано распределение признака X (случайной величины X), полученной по наблюдениям. Необходимо:
-
построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения;
-
найти среднюю арифметическую
;
медиану
и моду
;
дисперсию
,
среднее квадратическое отклонение
и коэффициент вариации
;
начальные
и центральные
моменты
- го порядка (
);
коэффициент асимметрии
и эксцесс
.
1.
X
– число сделок на фондовой бирже за
квартал;
(инвесторов).
|
|
Частота
|
Частотность
ωi=
|
Наклон
частот
|
Накопленная частотность
|
|
0 |
146 |
0.3650 |
146 |
0.3650 |
|
1 |
97 |
0.2425 |
243 |
0.6075 |
|
2 |
73 |
0.1825 |
316 |
0.7900 |
|
3 |
34 |
0.0850 |
350 |
0.8750 |
|
4 |
23 |
0.0575 |
373 |
0.9325 |
|
5 |
10 |
0.0250 |
383 |
0.9575 |
|
6 |
6 |
0.0150 |
389 |
0.9725 |
|
7 |
3 |
0.0075 |
392 |
0.9800 |
|
8 |
4 |
0.0100 |
396 |
0.9900 |
|
9 |
2 |
0.0050 |
398 |
0.9950 |
|
10 |
2 |
0.0050 |
400 |
1.0000 |
Средняя арифметическая вариационного ряда:
Медиана
вариационного ряда (значение признака,
которое приходится на середину
ранжированного ряда):
;
Мода
вариационного ряда (варианта, которой
соответствует наибольшая частота):
;
Дисперсия
вариационного ряда:
Среднее
квадратическое отклонение:
.
Коэффициент
вариации:
.
Начальные
моменты
- го порядка (
Центральные
моменты
- го порядка (
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс
.
2.
X
– удой коров на молочной ферме за
лактационный период (в ц.);
(коров).
|
Интервалы
|
Середины
интервалов
|
Частота
|
Частотность
ωi=
|
Наклон
частот
|
Накопленная частотность
|
|
4-6 |
5 |
1 |
0.0100 |
1 |
0.0100 |
|
6-8 |
7 |
3 |
0.0300 |
4 |
0.0400 |
|
8-10 |
9 |
6 |
0.0600 |
10 |
0.1000 |
|
10-12 |
11 |
11 |
0.1100 |
21 |
0.2100 |
|
12-14 |
13 |
15 |
0.1500 |
36 |
0.3600 |
|
14-16 |
15 |
20 |
0.2000 |
56 |
0.5600 |
|
16-18 |
17 |
14 |
0.1400 |
70 |
0.7000 |
|
18-20 |
19 |
12 |
0.1200 |
82 |
0.8200 |
|
20-22 |
21 |
10 |
0.1000 |
92 |
0.9200 |
|
22-24 |
23 |
6 |
0.0600 |
98 |
0.9800 |
|
24-26 |
25 |
2 |
0.0200 |
100 |
1.0000 |
Среднее арифметическое вариационного ряда:
Медиана вариационного ряда (определим по кумуляте):
Моду определим по гистограмме:
Дисперсия:
Среднее
квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Начальные
моменты
- го порядка (
Центральные
моменты
- го порядка (
:
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс:
3.
По выборкам объемом
и
найдены средние размеры деталей
соответственно
и
мм. Установлено, что размер детали,
изготовленный каждым автоматом, имеет
нормальный закон распределения. Известны
дисперсии
и
для первого и второго автоматов. На
уровне значимости
выявить влияние на средний размер детали
автомата, на котором она изготовлена.
Рассмотреть два случая: а)
;
б)
.
Нулевая
гипотеза
При
справедливости
статистика рассчитывается следующим
образом:
а)
в данном случае средний размер детали
зависит от выбора автомата - двусторонняя
критическая область
по таблице II
(Значения функции Лапласа) находим
значение
Получим:
.
Нулевая гипотеза отвергается, значит средний размер детали зависит от выбора автомата.
б)
в данном случае влияние второго автомата
больше) - односторонняя критическая
область
по
таблице II
(Значения функции Лапласа) находим
значение
Получим:
.
Нулевая гипотеза отвергается, значит влияние второго автомата больше.
4. Имеются следующие данные о качестве детского питания, изготовленного различными фирмами (в баллах): 40, 39, 42 ,37, 38, 43, 45, 41, 48. Есть основание полагать, что показатель качества продукции последней фирмы зарегистрирован неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5% уровне значимости?
;
Нулевая
гипотеза
(т.е значение
принадлежит к остальным наблюдениям).
Значение
исключаем, а для остальных найдем среднее
арифметическое и среднее квадратическое
отклонение (
):
Рассчитаем значение статистики, имеющий распределение Стьюдента
По
таблице IV
(Значения
- критерия Стьюдента) находим
Получили:
.
Нулевая
гипотеза отвергается, т.о. значение
является аномальным.
5.
Вступительный экзамен проводился на
двух факультетах института. На
экономическом факультет из
абитуриентов выдержали экзамен
человек, а на финансово-кредитном из
абитуриентов -
.
На уровне значимости
проверить гипотезу об отсутствии
существенных различий в уровне подготовки
абитуриентов двух факультетов. Рассмотреть
два случая: а)
;
б)
.
Нулевая
гипотеза:
(т.е. уровни подготовки абитуриентов
одинаковы)
Найдем
выборочные доли
и
Рассчитаем выборочную долю признака:
Рассчитаем значение статистики:
а)
(уровни подготовки абитуриентов
отличаются) – одностороння критическая
область:
По
таблице II
(значения функции Лапласа):
Получили:
.
Нулевая гипотеза принимается, т.е. полученные данные не противоречат гипотезе об одинаковом уровне подготовки абитуриентов.
б)
(уровень подготовки абитуриентов
экономического факультета лучше уровня
подготовки студентов финансово -
кредитного) – одностороння критическая
область:
По
таблице II
(значения функции Лапласа):
Получили:
Нулевая гипотеза отвергается, т.е. полученные данные противоречат гипотезе о лучшем уровне подготовки абитуриентов экономического факультета.
6.
На уровне значимости 0.05 проверить
гипотезу о нормальном законе распределения
признака (случайной величины)
,
используя критерий согласия: а)
– Пирсона; б) Колмогорова (по данным
таблицы задания 2).
;
из задания 2 имеем
;
n=100;
|
Интервалы
|
Частота
|
Вероятность
|
Теоретические частоты
|
|
|
|
4-6 |
1 |
0.01 |
1 |
0 |
0 |
|
6-8 |
3 |
0.027 |
2.7 |
0.0900 |
0.0333 |
|
8-10 |
6 |
0.058 |
5.8 |
0.0400 |
0.0069 |
|
10-12 |
11 |
0.105 |
10.5 |
0.2500 |
0.0238 |
|
12-14 |
15 |
0.153 |
15.3 |
0.0900 |
0.0059 |
|
14-16 |
20 |
0.18 |
18 |
4.0000 |
0.2222 |
|
16-18 |
14 |
0.173 |
17.3 |
10.8900 |
0.6295 |
|
18-20 |
12 |
0.135 |
13.5 |
2.2500 |
0.1667 |
|
20-22 |
10 |
0.086 |
8.6 |
1.9600 |
0.2279 |
|
22-24 |
6 |
0.044 |
4.4 |
2.5600 |
0.5818 |
|
24-26 |
2 |
0.019 |
1.9 |
0.0100 |
0.0053 |
Нулевая
гипотеза
- случайная величина
распределена нормально
а)
Критерий согласия Пирсона (
):
Рассчитываем
вероятности
:
По
данным примера 2 имеем
.
Рассчитаем значения вероятностей. Значения Ф(х) находим по таблице II (значения функции Лапласа):
Все остальные значения вероятностей рассчитываются подобным образом. Найдем последнее из них:
Определим меру расхождения эмпирических и теоретических частот:
Число степеней свободы:
где
- число интервалов эмпирического
распределения
- число параметров теории распределения
По
таблице V
(значения критерия Пирсона) находим:
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.
б) Критерий согласия Колмогорова:
|
|
Частота
|
Накопленная частотность
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
0.0100 |
-2.2024 |
-0.9566 |
0.0217 |
0.0039 |
|
8 |
3 |
0.0400 |
-1.7436 |
-0.9181 |
0.0409 |
0.0009 |
|
10 |
6 |
0.1000 |
-1.2847 |
-0.7984 |
0.1008 |
0.0014 |
|
12 |
11 |
0.2100 |
-0.8259 |
-0.5935 |
0.2032 |
0.0068 |
|
14 |
15 |
0.3600 |
-0.3671 |
-0.2886 |
0.3557 |
0.0043 |
|
16 |
20 |
0.5600 |
0.0918 |
0.0717 |
0.5359 |
0.0241 |
|
18 |
14 |
0.7000 |
0.5506 |
0.4245 |
0.7123 |
0.0088 |
|
20 |
12 |
0.8200 |
1.0094 |
0.6827 |
0.8414 |
0.0238 |
|
22 |
10 |
0.9200 |
1.4683 |
0.8584 |
0.9292 |
0.0092 |
|
24 |
6 |
0.9800 |
1.9271 |
0.9464 |
0.9732 |
0.0064 |
|
26 |
2 |
1.0000 |
2.3859 |
0.9832 |
0.9916 |
0.0084 |
Значения
это накопленные частости
(они соответствуют значениям полученным
в задании 2).
Для
построения
в случае нормального закона воспользуемся
формулой:
Получим:
При
и
:
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.