Понятие сходимости

Пусть имеем дифференциальное уравнение (1)

Ввели сетку аппроксимации производные и дополнительные условия и получили разностную схему (2)

Из-за погрешностей аппроксимации и вычислении ошибок не будет совпадать с истинным решением, - сеточная функция. Нам важно, чтобы сходилось к в узлах. Численное решение сеточной функции сходится к истинному значению, если .

В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (то есть дифференциальное уравнение и дополнительные условия) и устойчива, то будет сходимость.

Устойчивость означает, что при малом изменении входных данных (коэффициент уравнения, правых частей, начальных и граничных данных) решение изменяется тоже немного.

Математика это

Условие аппроксимации:

то есть эквивалентно.

То есть эквивалентно , разностная схема аппроксимирует исходящую дифференциальную задачу, если при

Методы решения краевых задач

1. Аналитические методы.______ в квадратурах, строгое интегрирующее. Простые случаи.

2. Приближенные методы

Упрощения:

а) отбрасываются некоторые члены;

б) выбираются специальные классы ____ уравнений.

2а) метод возмущений

Решение основное + малая доставка (возмущение)

2б) метод малого параметра

Решение = ряд по малому параметру, содержащемуся в задаче

2в) методы минимизации невязок

Суть метода: Берется система линейных независимых, дифференциальных функций: ; ; – нулевым граничным условиям. Строится решение

y =

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение и находится невязка – разность между левой и правой частью – r(x,).

Дальше делают так, чтобы r -> к минимуму.

Способ минимизации определяет метод

а) метод коллокации. Выбираются точки , в которых r = 0. Получается система линейных уравнений для ;

б) метод наименьших квадратов. Минимизируется сумма квадратов невязок. Опять система линейных уравнений для ;

в) метод Бубнова – Галеркина. Использование требования ортогональности базисных функций к невязке r(x,)

Опять система линейных уравнений

Основные понятия.

Многие задачи физики, механика, химии и других отраслей науки и техники при их математической моде сводятся к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории:

1. –я : обыкновенные дифференциальные уравнения, которые содержат только одну независимую переменную;

2. -я : уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями требует _____ дополнительных условий, так называемых краевых условий.

Если решение ищется в ограниченной области значения независимых переменных, то задаются условия на границах области, которые называются граничными (краевыми). Если одной из независимых переменных является время, то задаются некоторые условия в начальный момент времени – это начальные условия.

Если задаются и граничные и начальные условия, то такие задачи называются нестационарными ( или смешанными) краевыми задачами.

Основные методы решения

Аналитические методы – дают возможность провести непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений, то есть решение в квадратурах – в виде формул и путем аналитических преобразований – однако, это возможно только в простых случаях.

___________________ методы

Они используют различные упрощения самих дифференциальных уравнения, например, путем отбрасывания содержащихся в них членов, или выбором некоторых специальных классов искомых функций.

К ним относятся:

Метод возмущений. Решение ищется в виде основного решения + малой добавки (возмущения);

Метод малого параметра: решение ищется в виде ряда по некоторому малому параметру, содержащемуся в данной задаче.

Методы минимизации невязок. Суть их заключается в следующем. Пусть задано дифференциальное уравнение с некоторыми граничными условиями. Выбирается некоторая линейно независимая (базисная) система дифференциальных функций (запись для обыкновенных дифференциальных уравнений) ; – нулевым граничным условиям.

Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций

1. y(x) =

Подставляя это выражение в исходное дифференциальное уравнение, можно найти разность между его левой и правой частями, которая называется невязкой: r(x,). – подбирается так, чтобы невязка была минимальна. Способ минимизации и определяет ту или иную модификацию метода.

а) метод коллокаций: выбираются точки , в которых невязки полагаются = 0. Получается система линейных алгебраических уравнений, из которых определяется и подставляется в решение (1);

б) метод наименьших квадратов. Минимизируется сумма квадратов невязок – также определяется система линейных алгебраических уравнений, из которых находятся .

в) метод конечных разностей(применяется как для общих дифференциальных уравнения, так и для дифференциальных уравнений в частных производных)

Состоит из следующих этапов

1. Построение дискретного аналога непрерывной среды (_______ разностной сетки. Переход к дискретным значениям аргументов и искомой функции). Значения функции в узлах сетки, называются сеточными функциями;

2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений. Производные заменяются разностными аналогами и записываются во внутренних узлах;

3. Аппроксимация начальных или граничных условий. Разностные операторы записываются в граничных узлах. В итоге получается система алгебраических уравнений, число которых пропорционально числу внутренних узлов;

4. Решение получающейся системы алгебраических уравнений и получение дискретных значений искомой функции. Эта система алгебраических уравнений бывает очень высокого порядка, но матрица коэффициентов бывает сильно разреженной;

5. Построение приближающей функции по полученным дискретным значениям искомой функции.