Справедлива теорема:

Если дифференциальная задача (1) поставлена корректно, если разностная схема (2) также является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1) – тогда решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Значение этой теоремы в том, что она позволяет разделить изучение сходимости на два отдельных этапа: доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости.

Последнее является более сложным этапом.

Как уже отмечалось, если аппроксимирует LU, то возникает погрешность (невязка) δ=LU - , которая стремится к нулю при h->0.

LU = f(x); =; LU - =

В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (2) которому удовлетворяет получается из уравнения LU = f,(1) путем прибавления некоторой малой(при помощи h) добавки . Следовательно если решение уравнения устойчиво относительно возмущения правой части, то есть мало изменяется при малом изменении правой части, то решение уравнения (1) и (2) будут отличаться мало, так что из аппроксимации следует сходимость .

Таким образом трудный вопрос сходимости разбивается на два более простых: 1) Имеет ли место аппроксимация задачи (2) задачей (1); 2)Устойчива ли задача 2).

Отсюда вывод – нужно выбирать такие разностные вычислительные схемы (из множества возможных способов аппроксимации), которые являются устойчивыми.

То есть условие аппроксимации: уменьшение ошибок при h->0 LUh - > U – недостаточно, нужно еще устойчивость разностной схемы.

Эллиптические уравнения(например Пуассона).

Здесь нет времени, нет эволюции. Метод гармоник не используется, так как он использует слоистый по времени характер задачи и в конечном счете изучает эволюцию начального возмущения во времени.

В эллиптических уравнениях непосредственно проверяется

Здесь вводится вспомогательная функция R и доказывается, что разностная схема(2-го порядка аппроксимации производных) по каждой переменной устойчива.

.

U = U(t)

U = U(t,x) -> U =

δ

Каждая гармоника:

; один из корней по модулю >1 поэтому при достаточно больших n в решении могут присутствовать сколь угодно большие гармоники.

Устойчивость разностных схем.

Устойчивость линейных разностных схем:

=

Метод гармоник (для эволюционных, то есть зависящих от времени задач)

Упрощения: а) правые части равны нулю;

б) отвлекаемся от краевых условий;

В этих условиях: частные решения разностных уравнений имеют вид гармоник

Условие устойчивости сводится к требованию ограниченности амплитуды этих гармоник.

(10.7)

Для каждой схемы будет естественно своя зависимость λ = λ (∆t,h,ωh)

Проверка условия (10.7) эквивалентна проверке условия (): , где A=const – условие Неймана устойчивости разностных схем для эволюционных задач.

По существу это проверка устойчивости по начальным (что является определяющим большей частью для эволюционных задач). Кстати для них получается

∆t ≤ 0,5

Мерой малости погрешности аппроксимации служит порядок разностной схемы. Порядок «p» означает, что при малых ∆t погрешность аппроксимации пропорциональна .

Устойчивость связана с изменением ошибки в процессе счета. От разностной схемы будет мало пользы, если даже малые погрешности аппроксимации и округления будут быстро нарастать с количеством шагов во времени. Это нарастание может исказить решение. «Численный метод устойчив, если на любой стадии вычислительного процесса малая ошибка приводит к меньшей конечной ошибке». Пусть величина ошибки на n – м шаге , а на (n+1) - , тогда должно быть , то есть если =g, то должно быть: .

В принципе задачи могут иметь нарастающие решения (например по экспоненте). В этом случае можно допустить неограниченное нарастание ошибки, при условии, что последняя меньше растущего решения. Этот случай носит частный характер, и мы его в дальнейшем исключим.

Эффективность – характеризуется полным числом арифметических, логических и обменных операций, выполняемых центральным процессором для получения решения. Здесь могут быть компромиссы – например, между точностью решения и эффективностью.

__________________________________для уравнения в частных производных(на примере уравнения диффузии).

Уравнения в частных производных.

Абстрактные понятия сплошных сред и непрерывных полей находят широкое применение в физике:

- В классической электродинамике уравнения Максвелла формируются с помощью определения непрерывных функций источника;

- твердое тело часто для простоты трактуется как сплошное;

- разнообразные среды(жидкости, газы, плазма, галактическое вещество) – можно трактовать как сплошные среды.

Исходя из этих представлений, в пространстве и времени определяют непрерывные функции(которые описывают свойства среды), и применяя количественные законы физики (часто законы сохранения – импульса, заряда массы) получают уравнения в частных производных, связывающие свойства среды в пространстве и времени.

Уравнения в частных производных, вытекающие из этих идей называют консервативными.

Уравнение диффузии часто появляются при описании переноса частицы, импульса или энергии. В частности, оно описывает распределение температуры в твердом теле, где в классическом случае энергия переносится посредством теплопроводности.

По закону сохранения энергии скорость изменения в объеме V должна равняться потоку энергии q через поверхность S данного объема V:

Применяя теорему -Гаусса к правой части получим

Пусть плотность энергии E пропорциональна температуре Е, получим уравнение диффузии:

, k – коэффициент теплопроводности.

В одномерном случае

, где U может быть

В момент времени t=o начальные условия определяют зависимую переменную на пространственной сетке

Допустим мы используем простейший путь – явный метод первого порядка – аналогичный методу Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть шаг по времени равен ∆t, в пространстве h. Тогда

.

Здесь верхний индекс относится к шагу по времени, а нижний индекс i относится к шагу в пространстве. Пространство – временная сетка имеет вид:

То есть пространственная производная относится к определенному моменту времени (n). Рассмотрим точность, устойчивость и эффективность данной схемы, используя идеи, развитые для обыкновенных дифференциальных уравнений, добавив представление о фурье - модах или фурье – гармониках. Дело в том, что уравнения в частных производных связывают точки в пространстве и времени и простые линейные свойства уравнений в частных производных или их систем можно установить, исследуя поведение волны в пространстве и времени.

Считаем, что фурье мода имеет вид: U(x,t) = , где ω – частота, k = , λ – длина волны – удовлетворяет уравнению в частных производных. Частота ω – может быть действительной (тогда колебательный или волновой процесс), ω – может быть комплексной, тогда затухающий или нарастающий волновой процесс.

В разностном решении задачи с начальными условиями нас интересуют временные масштабы задачи и их зависимость от длины волны, для различных физических процессов.

следуя общему подходу к анализу устойчивости схем, найдем множитель q (перехода) (или в более сложных случаях матрицу перехода) для фурье – моды:

U = .

Подставим в разностное уравнение

.

=;

q =

должно быть то есть Выбираем максимальное значение sin и тогда

То есть связь временного шага ____________.

Этот результат можно пояснить физически. Максимальный допустимый шаг по времени равен времени диффузии на характерной длине h. - время распространения и _______ вдоль длины h. И если сходимость распространения ______ очень мала = то можно ожидать катастрофических результатов.

Для определения точности метода получают дисперсионное соотношение для фурье – моды, для разностной схемы и для дифференциального уравнения. В пределе при ∆t ->0 и больших длинах волн они должны совпадать. Интересно, что для уравнения переноса анализ, с использованием фурье – моды приводит к комплексному q и оказывается, что разностная схема(схема первого порядка) неустойчива при любых ∆t!!

У Поттера приведены схемы и результаты анализа их устойчивости.