Методичка, курсовая,ВМ

7

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

к выполнению курсовой работы

для студентов специальности 220400

Саратов 2011

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.

Целью дисциплины является изучение студентами погрешностей вычислений, численных методов решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методов интерполирования и численного дифференцирования и интегрирования, то есть изучение основных численных методов решения прикладных задач на ЭВМ и приобретения навыков их практического применения.

При изучении дисциплины необходимы знания, полученные по математическим предметам в течение первых семестров обучения.

2. Распределение времени по видам занятий.

Согласно учебному плану для очного обучения изучение предмета осуществляется на третьем курсе в 5 и 6 семестрах.

Планируются следующие аудиторные занятия: лекции – 68 часов, лабораторных занятий – 34 часа, всего 102 часа аудиторных занятий. В конце 5 семестра зачет, а в конце 6 семестра – экзамен.

Планируется, что на самостоятельную работу по этому курсу, в том числе и на выполнение курсовой работы, студент должен затратить 44 часа.

3. Содержание курса.

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ. Анализ погрешностей в численном результате. Относительные и абсолютные погрешности. Погрешности, содержащиеся в исходной информации. Погрешности ограничения и округления. Методы округления. Определение погрешностей при сложении, вычитании, умножении и делении. Погрешность функции. Определение погрешностей аргументов по погрешности функции

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений. Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса, описание алгоритма прямого и обратного хода для системы из n уравнений. Построение блок-схемы метода. Метод главного элемента. Погрешности решений. Уточнение решения итерационным путем. Достижимая точность решения. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса-Зайделя. Сходимость итерационных методов. Условия сходимости метода Гаусса-Зайделя. Сравнение методов.

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ. Приближение функций. Аппроксимация и интерполяция. Интерполяционные многочлены. Дробно-рациональное приближение функций. Линейное и квадратичное интерполирование. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Конечные разности. Полиномы Чебышева. Сравнительная характеристика методов интерполяции.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. Конечные разности различных порядков. Использование степенных рядов, полиномов Лагранжа и Ньютона для численного дифференцирования. Вычисление производных высших порядков. Метод Рунге-Ромберга. Быстропеременные функции. Регуляризация дифференцирования.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Постановка задачи. Метод трапеций. Ошибки ограничения и округления. Их оценки. Формула Симпсона. Оценка погрешности квадратурных формул. Метод Гаусса. Задача оптимизации распределения узлов и квадратур. Метод Монте-Карло для вычисления интегралов. Оценка погрешности.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Исследование уравнений. Метод последовательных приближений. Условия сходимости метода. Геометрическое описание. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений. Асимптотическая скорость сходимости метода. Решение задачи минимизации функционала. Метод спуска. Сравнение методов и их ошибок округления. Сведение многомерных задач к задачам меньшей размерности. Стационарные задачи. Метод установления для их решения. Упрощение алгебраических уравнений путем выделения множителей. Интерполяционные методы решения уравнений, основанные на интерполировании функции и обратной функции. Корни многочленов. Правило Горнера. Влияние погрешностей коэффициентов многочлена на результат.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Одношаговые методы с разложением решения в ряд Тейлора. Порядок точности методов. Методы Рунге-Кутта (равного порядка точности). Методы с контролем погрешности на шаге. Оценки погрешности одношаговых методов. Конечно-разностные методы неопределенных коэффициентов. Оценка погрешности методов. Особенности интегрирования систем уравнений и методы численного интегрирования уравнений второго порядка. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Многоточечные и граничные задачи, метод дифференциальной прогонки. Решение нелинейных граничных задач. Метод редукции к задачам Коши и метод линеаризации. Сходимость методов.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера. Вид вычислительного правила для уравнений Вольтера и сходимость вычислительного процесса. Метод вычислений, основанный на формуле Эйлера-Маклорена, точность метода. Метод квадратур для решения уравнений Фредгольма, его сходимость. Интерполяционный квадратурный метод.

4. Задания к курсовой работе; требования к ее оформлению.

Каждая работа содержит 10 вариантов. Студенты выбирают варианты согласно последней цифре номера своей зачетной книжки, - она определяет номер варианта, который необходимо выполнить (если последняя цифра 0, то необходимо выполнить 10-ый вариант).

Контрольная работа пишется на листах формата 11, либо на сдвоенных листах ученической тетради в клеточку. На титульном листе указывает факультет, курс, специальность и шифр (номер зачетки) студента, затем номер контрольной работы и предмет, по которому она выполняется. Затем указываются фамилия и инициалы студента. Материалы располагать в следующем порядке: текст задачи, краткая теория, касающаяся этой задачи, подробное решение задачи. В конце контрольной работы привести список использованной литературы. Курсовая работы должна быть представлена до начала сессии.

Задание № 1

20,9x₁ + 1,2x₂ + 2,1x₃ + 0,9x₄ = 21,70 (1)

2,1x₁ + 1,5x₂ + 19,8x₃ + 1,3x₄ = 28,76

1,2x₁ + 21,2x₂ + 1,5x₃ + 2,5x₄ = 27,46

0,9x₁ + 2,5x₂ + 1,3x₃ + 32,1x₄ = 49,74

12,9x₁ + 2,7x₂ + 0,9x₃ + 1,6x₄ = 17,24 (2)

2,1x₁ + 33,6x₂ + 4,5x₃ + 1,9x₄ = 18,26

3,7x₁ + 0,5x₂ + 21,8x₃ + 4,3x₄ = 21,36

0,7x₁ + 4,3x₂ + 7,2x₃ + 43,5x₄ = 59,23

31,9x₁+ 1,8x₂ + 6,1x₃ + 2,9x₄ = 12,32 (3)

3,2x₁ + 42,2x₂ + 2,5x₃ + 5,7x₄ = 37,28

4,3x₁ + 1,7x₂ + 29,7x₃ + 3,3x₄ = 21,20

2,9x₁ + 0,5x₂ + 3,6x₃ + 23,1x₄ = 42,24

1,8x₁ + 0,3x₂ + 0,45x₃ + 1,26x₄ = 39,10 (4)

1,08x₁ + 2,3x₂ + 1,54x₃ + 0,74x₄ = 1,15

-1,08x₁ + 3,43x₂ + 9,8x₃ - 7,25x₄ = 6,86

6,77x₁ + 5,29x₂ + 0,47x₃ + 12,3x₄ = 1,17

1. Решить систему (1) методом Гаусса со столбцом для контроля вычислений с точностью до 0.01

2. Решить систему (1) методом итераций с точностью до 0.001.

3. Решить систему (1) методом Зайделя с точностью до 0.001

1. Решить систему (2) методом Гаусса со столбцом для контроля вычислений с точностью до 0.01

5. Решить систему (2) методом итераций с точностью до 0.001.

1. Решить систему (2) методом Зайделя с точностью до 0.001

6. Решить систему (3) методом Гаусса со столбцом для контроля вычислений с точностью до 0.01

8. Решить систему (3) методом итераций с точностью до 0.001.

9. Решить систему (3) методом Зайделя с точностью до 0.001

1. Решить систему (4) методом Гаусса со столбцом для контроля вычислений с точностью до 0.01

Задание № 2. Интерполирование функций.

Функция задана таблицей

Х	0,1	0,25	0,4	0,55	0,70	0,85
У	2,1	3,6	5,0	7,7	6,3	4,2

а). Методами линейного и квадратичного интерполирования найти приближенное значение у=f(x)

б) Используя многочлен Лагранжа и N узлов найти значение у=f(x) и значение первой производной в точке х.

Сравнить приближенные значения, полученные различными методами.

1. Х = 0,2 N = 4

2. Х = 0,3 N = 5

3. Х = 0,65 N = 4

4. Х = 0,75 N = 5

а). Методами линейного и квадратичного интерполирования найти приближенное значение у=f(x)

б) Используя многочлен Ньютона (слева направо) найти значение у=f(x) и значение первой производной в точке х.

Сравнить приближенные значения, полученные различными методами.

5. Х = 0,15

6. Х = 0,35

7. Х = 0,45

а). Методами линейного и квадратичного интерполирования найти приближенное значение у=f(x)

б) Используя многочлен Ньютона (справа налево) найти значение у=f(x) и значение первой производной в точке х.

Сравнить приближенные значения, полученные различными методами.

8. Х = 0,6

9. Х = 0,8

10. Х = 0,5

Задание № 3.

Вычислить следующие интегралы (число интервалов n = 10), пользуясь методами прямоугольников, трапеций и Симпсона; результаты расчетов сравнить.

№ 1.

№ 2.

№ 3.

№ 4.

№ 5.

№ 6.

№ 7.

№ 8.

№ 9.

№ 10

Задание № 4.

Осуществить приближенные решения дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта, полагая h= 0,1; результаты сравнить.

№ 1. у´ = y + 3x y(0) = -1 xÎ [0,1]

№ 2. у´ = x – 2y y(0) = 0 xÎ [0,1]

№ 3. у´ = y – 2x/y y(0) = 1 xÎ [0,1]

№ 4 у´ = x + y(1) = 0 xÎ [1,2]

№ 5. у´ = - y y(0) = 2 xÎ [0,1]

№ 6. у´ = 2x - y y(0) = 1 xÎ [0,1]

№ 7. у´ = + 0,25 y(0) = -1 xÎ [0,1]

№ 8. у´ = 4y (1 + x) y(0) = 1 xÎ [0,1]

№ 9. у´ = x – 2y y(0) = 1 xÎ [0,1]

№ 10 у´ = y – x y(0) = 1,5 xÎ [0,1]

4. Список рекомендуемой литературы

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш.шк.,2005.

2. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.:БХВ-Петербург, 2004.

3. Гусак А.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2004.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.,2005.

5. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 7 программирование, численные методы. БХВ-Петербург, 2005.