-
Взаимодействие систем.
Взаимодействие только тепловое, Ec = Ea + Eb.
|
Рис.Т5.2. «До» и «после» взаимодействия. Любые две системы всегда можно рассматривать как образующие третью, Гиббс. |
|
Пусть p(E) - вероятность того, что в составной системе энергия системы Ea равна Eа = E, при этом, конечно, Eb = Ec – E.
p(E)= const∙Ωa(E) Ωb(Ec - E), const =1/Ωc и один из сомножителей быстро растет с ростом энергии Ωa(E), а другой быстро уменьшается. Задача состоит в определении экстремума, но сначала пример.
|
пример
V0 = V1 + V2 , N молекул, идеальный газ. |
Отмечаем одну молекулу и требуем равновесия. Вероятность того, что «она» находится в V1 равна p1 = V1/V0, вероятность того, что «она» находится в V2 равна p2 = V2/V0.
|
|
пример
V0 = V1 + V2 , N молекул, идеальный газ. |
Отмечаем группу из n молекул и требуем равновесия.
Вероятность
того, что «группа» находится в V1
(остальные N
– n молекул
находятся в V2)
равна
q
= p2,
q
= 1-p
Если
считать, что ящик поделен пополам (по
справедливости), т.е. V1=V2=V/2
, тогда p1=p2=1/2
и
|
,
.
Вероятность
p(E)=
const∙Ωa(E)
Ωb(Ec
- E)
имеет
максимум, причем
ширина
этого максимума (
)
зависит от числа частиц (≡ молекул) в
системе. Если
= 1/2
N,
(V1
=
V2
=
V/2),
тогда
.
Чтобы
проще найти экстремум, выражение
const∙Ωa(E)
Ωb(Ec
- E)
сначала
стоит прологарифмировать. В таком случае
условие экстремума
можно записать в виде
.
Остается ввести необходимые обозначения:
S=k∙lnΩ
и k
= 1.38∙10-23
Дж/К.
|
Мораль |
Условия экстремума: Ta = Tb и Sa+Sb максимум.
|
|
Мораль |
Речь идет об одном и том же, если k = 1.38∙10-23 Дж/К. k постоянная Больцмана.
|
–
определение
статистической энтропии;
-
определение термодинамической
энтропии.
-
определение информационной энтропии
системы.
Таким образом, условие p(E)= max эквивалентно Sa + Sb = Sc максимум и Ta = Tb, а это и есть II -ое начало термодинамики.
|
Варианты |
До контакта Ta ≠ Tb , начинается обмен энергией, пока p(E) не достигнет максимума, т.е. Sc = Sa + Sb максимум, наступает равновесие. До контакта Ta = Tb, равновесие сохраняется. |
|
пример |
Если
одна система (А)
маленькая, в смысле Ea
<<
E,
|
.
Если система поглощает малое количество
тепла dQ
(по сравнению с
),
то ΔT
<< T
и
температуру можно считать неизменной.
Но число состояний меняется, а
значит
.
В реальной жизни любая система мала
по сравнению с внешней средой и
.
Множитель
- множитель Больцмана.
-
Глоссарий.
Основной постулат статистической теории - если система с равной вероятностью находится в любом из доступных состояний – она находится в состоянии равновесия.
Флуктуация - вычисляется как отклонение от среднего значения.
Равновесное состояние - равновероятное распределение по доступным состояниям, не зависит от времени.
– определение
статистической
энтропии;
- определение
информационной
энтропии
системы.
Мораль Т5.
|
Для |
материаловеда, |
|
который |
изучает условия равновесия взаимодействующих систем, |
|
статистическая теория |
предоставляет способ рассуждений и расчетов, |
|
который |
дает возможность подсчитать среднее значение термодинамических параметров на основании распределения вероятностей нахождения системы в ее доступных состояниях. |
|
В отличие от |
феноменологической термодинамики |
|
статистическая теория |
обосновывает условие равновесия «из первых принципов» и определяет абсолютное значение энтропии системы как меры ее вероятностного распределения. |
|
|
|
Таблица Т5.
|
Уместный вопрос |
Возможный ответ |
|
Какое событие называется случайным? |
|
|
Как подсчитать вероятность случайного события? |
|
|
Какие состояния системы являются допустимыми? |
|
|
Что такое «флуктуация случайной величины»? |
|
|
Каким образом связаны понятия «флуктуация» и «среднее значение» случайной величины? |
|
|
В чем состоит основной постулат статистической теории? |
|
|
Как выглядит формула Больцмана для статистической энтропии? |
|
|
пример |
Средняя
энергия молекул идеального одноатомного
газа
Эта
величина равна
|
,
pi
-вероятность найти данную молекулу в
состоянии с энергией Ei,
r
-
возможные состояния «нашей» молекулы.
.
Отсюда
,
Величина
- статистическая сумма системы. После
расчетов
,
полная энергия газа
и не зависит от размеров сосуда!
|
пример |
Случай – дискретный исход испытания – либо «да», либо «нет». Случайное событие (случай) – явление, которое в опыте, поставленном для его наблюдения, либо имеет место, либо нет. Специально поставленный опыт – испытание. |
|
пример |
Вероятность события A– probability, p(A). m - испытание с ответом «да», M - всего испытаний.
Тогда
p(A) = 1 – достоверное событие, p(A) = 0 – невероятное событие. |
,
до тех пор пока m/M
будут отличаться друг от друга на
бесконечно малую величину.
|
понятие |
Флуктуация
вычисляется как отклонение от среднего
значения ( Дисперсия вычисляется как средний квадрат флуктуации ( |
),
.
Понятно, что
.
).
По определению
.