Прохождение белого шума через узкополосную систему.

Белый шум. Среди всех источников шума наиболее распространенным на практике и наиболее широко используемым в качестве модели случайного процесса (СП) является шум, описываемый нормальным (гауссовским) распределением.

При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра F существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия f_X) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y(t). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство F << f_X (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Спектр широкополосного СП и АЧХ узкополосных ФНЧ и ПФ.

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с f_X до F) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c _X до _Y). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y(k_Y) располагается примерно f_X /F некоррелированных отсчетов воздействия X(l_X),, каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y(k_Y) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X(l_X) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

Нормальное распределение, связь корреляции и независимости выборок из нормального случайного сигнала.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

Плотность вероятности:

где параметр — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр — среднеквадратическое отклонение ( — дисперсия) распределения.