полная методичка
.pdf
где G(λ1) |
- плотность |
дисперсии; |
δ(х) |
- |
дельта-функция Дирака. |
Получаем |
|||||
КX t1; t2 |
λ1; t1 |
|
|
λ2 |
; t2 G λ1 δ λ1 |
|
dλ |
|
|
λ1; t1 λ1; t2 G λ1 |
dλ1. |
|
λ2 |
|
|
||||||||
|
2 dλ1 |
||||||||||
Λ |
|
|
|
Λ |
|
|
|
|
|
Λ |
|
Следовательно, дисперсия случайного процесса Х(t):
DX t KX t; t 2 λ; t G λ dλ .
Λ
4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов
Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):
X(t) S Y(t) .
Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы Аt:
Y(t)=At(Х(t)).
Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.
1.Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор Аt системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.
2.Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t)
итребования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора Аt системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).
3.Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t)
изадан оператор Аt системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).
Принята следующая классификация операторов Аt системы S:
|
|
|
|
|
Операторы системы |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные L |
|
|
|
Нелинейные N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные однородные L0 |
|
|
Линейные неоднородные Lн |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
xi (t) Lн x(t) L0 x(t) (t) |
|
||
|
L0 |
|
ci xi |
(t) |
ci L0 |
|
||||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
1.Рассмотрим воздействие линейной неоднородной системы
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:
|
|
X(t) mX (t) Vk k (t) . |
|
|
k 1 |
Получаем: |
|
|
|
Y(t) Lн X(t) L0 (mX (t)) L0 (Vk ( k (t)) (t) |
|
|
k 1 |
|
|
L0 (mX (t)) Vk L0 ( k (t)) (t); |
|
k 1 |
|
введем обозначения |
|
L0 (mX (t)) ψ0 (t); |
L0 ( k (t) ψk (t); k N, |
тогда каноническое разложение Y(t) приобретает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(t) (t) ψ0 (t) Vk |
ψk (t) . |
|
||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
Математическое ожидание случайного процессаY(t): |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MY(t) M((t) ψ0 (t)) k (t) MVk (t) ψ0 (t) mY (t); |
|
|||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
корреляционная функция случайного процесса Y(t): |
|
|
|
|
||||
KY (t1; t2 ) M((Y(t1 ) mY (t1 )) (Y(t 2 ) mY (t2 ))) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M( Vk L0 ( k (t1 ) Vm L0 ( m (t2 ))) L0 ( k (t1 )) L0 ( k (t2 )) DVk |
|
|||||||
k 1 |
|
m 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0t (L0t |
2 |
( k (t1 ) k (t2 )DVk )) ; |
|
|
|
|
||
1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
KY (t1; t 2 ) L0t |
(L0t |
(KX (t1; t 2 ))) L0t |
2 |
(L0t (KX (t1; t2 ))) . |
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
С другой стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KX (t1; t2 ) ψk (t1 ) ψk (t2 )DVk . |
|
|||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Дисперсия случайного процесса Y(t): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DY (t) KY (t; t) ψk2 (t)DVk |
limL0t (L0t (KX (t; t2 ))). |
|
||||||
|
|
|
k 1 |
t 2 t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования |
||||||||
случайных процессов являются линейными однородными. |
|
|
|
|||||
2. Рассматривается квадратичное преобразование: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Y(t)=(X(t))2, X(t) mX (t) Vk k (t) mX (t) X(t), |
|
|||||
k 1
Vk-центрированные случайные величины, имеющие симметричное относительно нуля распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(t) (X(t))2 (mX (t) Vk k (t))2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
mX2 (t) 2mX (t) Vk k (t) Vk2 k2 (t) 2 Vk Vm k (t) m (t); |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 m k 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
m |
Y |
(t) M(m |
X |
(t) X(t))2 |
m2 |
(t) 2m |
(t) M(X(t)) M(X2 (t)) m2 (t) D |
X |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mX2 (t) k2 (t) DVk . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем неслучайные функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ψ |
(t) 2m (t) |
(t); ν |
k |
(t) 2 (t); |
|
km |
(t) 2 |
(t) |
m |
(t) |
|
|
||||||||
|
|
k |
|
X |
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
и случайные величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
U |
k |
V2 |
D |
V |
, W |
|
V V , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
km |
|
|
k m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(t) mY (t) Vk ψk (t) Uk |
νk (t) Wkm km (t). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
к 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 m k 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
Получено каноническое разложение случайного процесса Y(t). Корреляционная функция |
||||||||||||||||||||
Y(t): |
|
KY t1; t2 M (Y(t1 mY (t1 )) (Y(t 2 ) mY (t2 )) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
ψk (t1 ) ψk (t2 ) DVk |
νk (t1 ) νk (t2 ) DUk |
km (t1 ) km (t2 )DWkm ; |
|
|||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 m k 1 |
|
|
|
|
||
D |
U |
|
D V2 D |
V |
M V2 |
D |
V |
2 MV2 |
D2 |
; |
|||||
|
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
k |
V |
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
D |
W |
D V V |
M V2V2 |
D |
V |
D |
V |
. |
|
|
|||||
|
k m |
|
k m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
km |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
m |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия: DY (t) ψk2 (t) DVk νk2 (t) DUk km2 |
(t) DWkm . |
|
|||||||||||||
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
m k 1 |
|
|
|
|
|
|||
ГЛАВА 5. СТАЦИОНАРНЫЕ CЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах
Стационарным (однородным во времени) называют случайный процесс, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то есть являются инвариантными относительно временных сдвигов.
Различают случайные процессы стационарные в широком и узком смысле.
Стационарным случайным процессом в узком смысле называется случайный процесс Х(t), все вероятностные характеристики которого не меняются со временем, то есть n N и τ, ti ; i 1; 2;...; n таких, что ti ; τ; ti τ 0;T выполняется условие
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t1; t2;… ;tn, а от длительности
временных промежутков τi: τ1 t2 t1; τ2 t3 - t2 ; ; τn-1 tn - tn 1.
В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:
p1 (t;x) p1 (x),
двумерная плотность сечений в моменты времени t1 и t2
p2 (t1; t2 ; x1; x2 ) p2 (t1; t1 τ1; x1; x2 ) p2 (τ1; x1; x2 )
n-мерная плотность сечений в моменты времени t1; t2...; tn:
pn (t1; t2 ;...; tn ; x1; x2 ;...; xn ) pn (t1; t1 τ1; t1 τ2 ;...; t1 τn 1; x1; x2 ;...; xn )pn (τ1; τ2 ;...; τn 1; x1; x2 ;...; xn ).
Случайный процесс Х(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями: mX (t) m; KX (t1; t2 ) k(t2 t1 ) k(τ(
Очевидно, что стационарный случайный процесс в узком смысле является стационарным случайным процессом и в широком смысле; обратное утверждение не верно.
5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного процесса
|
|
|
1. mX (t) x p(t; x) dx x p(x) dx m, |
m const; |
|
|
|
|
2. KX (t1; t2 ) (x1 m)(x2 m) p2 (t1; t 2 ; x1; x2 ) dx1dx 2
(x1 m)(x2 m) p2 (ττx1; x2 ) dx1dx 2 kX (ττ.
3. Корреляционная функция стационарного случайного процесса четна:
kX (ττ kX (τ).
4. Дисперсия стационарного случайного процесса есть константа, равная значению ее корреляционной функции в точке τ 0 :
DX (t) KX (t;t) kX (0); |
kX (0) 0. |
5.kX (ττ kX (0).
6.Корреляционная функция стационарного случайного процесса является
положительно определенной, то есть
(t); B 0;T : kX (t2 t1 ) (t1 ) (t2 ) dt1dt 2 0.
B B
Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса
rX (ττ kX (ττ также четна, положительно определена и при этом
kX (0)
|
rX (ττ |
|
1; |
rX (0) 1. |
|
|
5.3. Стационарно связанные случайные процессы. Производная и интеграл от стационарного случайного процесса
Cлучайные процессы X(t) и Y(t) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов τ =t2-t1:
RXY(t1;t2)=rXY(τ).
Стационарность самих случайных процессов X(t) и Y(t) не означает их стационарной связанности.
Отметим основные свойства стационарно связанных случайных процессов, производной и интеграла от стационарных случайных процессов,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2) |
k |
X |
(ττ k (ττ) k |
X |
(n) (ττ ( 1)n k(2n) |
(ττ) |
|||
|
|
X |
|
|
|
X |
|
||
3) |
rXX (ττ kX (ττ) |
rX X (ττ kX (ττ) |
|
||||||
|
|
|
t 2 |
|
|
|
t 2 |
t1 |
t1 |
4) KY (t1; t2 ) (t2 τ) kX (ττdτ |
|
(t2 t1 τ) kX (ττdτ (t1 τ) kX (ττdτ, |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
где Y(t) t X(s)ds;
0
5) DY (t) 2 t (t τ) kX (ττdττ где Y(t) t X(s)ds ;
0 |
|
0 |
t 2 |
t 2 |
t1 |
6) RXY (t1; t2 ) kX (s t1 ) ds |
kX (ττ dτ ; |
|
0 |
t1 |
|
t1 |
t2 |
|
RYX (t1; t2 ) kX (t2 s) ds |
kX (ττ dτ . |
|
0 |
t 2 t1 |
|
5.4. Эргодические стационарные случайные процессы и их характеристики
Среди стационарных случайных процессов есть особый класс процессов, называемых
эргодическими, которые обладают следующим свойством: их характеристики, полученные
усреднением множества всех реализаций, совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации, наблюдаемой на интервале (0, T) достаточно большой продолжительности. То есть на достаточно большом временном промежутке любая реализация проходит через любое состояние независимо от того, каково было исходное состояние системы при t=0; и в этом смысле любая реализация полностью представляет всю совокупность реализаций.
Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина
Для любого стационарного случайного процесса в узком смысле X(t), имеющего конечное математическое ожидание M X(t) с вероятностью 1 существует предел
lim 1 T X(t)dt M(X JX ) для ССП с непрерывным временем,
T T 0
lim 1 n X(ti ) M(X JX ) для ССП с дискретным временем.
n n i 1
Если при этом |
X(t) |
– эргодический стационарный случайный процесс, то |
|||
M(X |
|
JX ) MX(t) m |
|
const . |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
|
|
В условии теоремы |
M(X |
JX ) - условное математическое ожидание случайного процесса |
|
X(t) относительно Jx; Jx – |
σ -алгебра инвариантных по отношению к X(t) событий; событие А |
||||
называется инвариантным относительно X(t), если B B (RT ) такое, что A={ω: X(ω,t) B}.
Достаточные условия эргодичности Теорема 1. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно математического ожидания, если его корреляционная функция
kX (ττ стремится к нулю при τ→∞;
1 T
при этом: lim X(t)dt mX .
T T 0
Теорема 2. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-
чайного процесса Y(t)=X2(t) стремится к нулю при τ→∞;
1 T
при этом: lim (X(t) mX )2 dt DX .
T T 0
Теорема 3. Стационарный случайный процесс X(t) эргодичен относительно корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ корреляционная функция стационарного случайного процесса
Z(t, τ)= (X(t) mX )(X(t τ) mX ) ;
|
1 |
T τ |
|
|
|
|
|
||
при этом: lim |
|
(X(t) mX )(X(t τ) mX )dt |
kX (ττ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
T T τ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
При практических расчетах интервал (0;Т) |
разбивается на n равных частей |
Δt |
T |
; |
в |
||||
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
каждом промежутке выбирается точка ti (например, середина). Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
mX |
X(ti ); |
||||
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
n |
|
DX |
|
(X(ti ) mX )2 |
X2 (ti ) mX2 ; |
|||||
n |
n |
|||||||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|||
|
|
mT |
|
1 |
n m |
|
|||
kX (ττ kX ( |
) |
(X(ti ) mX ) (X(ti m ) mX ) |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
n m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
1 |
|
n m |
|
|
|
|||
|
|
X(ti ) X(ti m ) mX2 ; |
m 0;1; 2;...; n 1. |
||||||
n m |
|||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||